College aantekeningen

Physical Chemistry -The Harmonic Oscilator_lecture12-15

0 keer verkocht

Vak
MIT Courses

Instelling
MIT Courses

This course presents an introduction to quantum mechanics. It begins with an examination of the historical development of quantum theory, properties of particles and waves, wave mechanics and applications to simple systems — the particle in a box, the harmonic oscillator, the rigid rotor and the ...

[Meer zien]

Voorbeeld 3 van de 19 pagina's

Bekijk voorbeeld

Geupload op 25 april 2023
Aantal pagina's 19
Geschreven in 2007/2008
Type College aantekeningen
Docent(en) Prof. robert guy griffin
Bevat Alle colleges

the harmonic oscilator

Volgen

tandhiwahyono

Lid sinds 2 jaar 8 documenten verkocht

€2,35

In winkelwagen

Opslaan

100% tevredenheidsgarantie
Direct beschikbaar na je betaling
Lees online óf als PDF
Geen vaste maandelijkse kosten

5.61 Fall 2007 Lectures #12-15 page 1

THE HARMONIC OSCILLATOR

• Nearly any system near equilibrium can be approximated as a H.O.

• One of a handful of problems that can be solved exactly in quantum
mechanics

examples

m1 m2 B (magnetic
field)
A diatomic molecule µ
(spin
magnetic
moment)
E (electric
field)

Classical H.O.

m
k

X0 X

Hooke’s Law: (
f = −k X − X 0 ≡ −kx)
(restoring force)
d2x d2x ⎛ k ⎞
f = ma = m 2 = −kx ⇒ + x=0
dt dt 2 ⎜⎝ m⎠⎟

,5.61 Fall 2007 Lectures #12-15 page 2

Solve diff. eq.: General solutions are sin and cos functions

k
() ( )
x t = Asin ω t + B cos ω t ( ) ω=
m
or can also write as

() (
x t = C sin ω t + φ )
where A and B or C and φ are determined by the initial conditions.

e.g. ()
x 0 = x0 ()
v 0 =0
spring is stretched to position x 0 and released at time t = 0.

Then

() ()
x 0 = A sin 0 + B cos 0 = x0 () ⇒ B = x0
dx
()
v 0 =
dt
()
= ω cos 0 − ω sin 0 = 0() ⇒ A=0
x=0

So ()
x t = x0 cos ω t ( )
k
Mass and spring oscillate with frequency: ω =
m
and maximum displacement x0 from equilibrium when cos(ωt)= ±1

Energy of H.O.
Kinetic energy ≡ K

2
1 1 ⎛ dx ⎞ 1 1
( ) ( )
2
K = mv 2 = m ⎜ ⎟ = m ⎡⎣ −ω x0 sin ω t ⎤⎦ = kx02 sin 2 ω t
2 2 ⎝ dt ⎠ 2 2

Potential energy ≡ U

dU 1 1 2
()
f x =−
dx
⇒ U = − ∫ f x dx =() ∫ ( kx )dx =
2
kx 2
=
2
( )
kx0 cos 2 ω t

, 5.61 Fall 2007 Lectures #12-15 page 3

Total energy = K + U = E

1 2 1 2
E=
2
( ) ( )
kx0 ⎡⎣sin 2 ω t + cos 2 ω t ⎤⎦ E= kx
2 0

x (t )
x 0(t )

0 t

-x0(t)

U K
1 2
kx E
2 0

0 t

Most real systems near equilibrium can be approximated as H.O.

e.g. Diatomic molecular bond A B

X
U

X
X0 A + B separated atoms

equilibrium bond length

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,35. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 66184 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

College aantekeningen

Physical Chemistry -The Harmonic Oscilator_lecture12-15

Document informatie

Onderwerpen

Geschreven voor

Verkoper

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud