Summary Actuarial Statistics - 2006 Past Paper with Solutions
5 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Sciences
Instelling
Sciences
University of Cambridge - Part III Mathematics/Certificate of Advanced Study in Mathematics/Masters of Mathematics
• Actuarial Statistics: course notes, based on lectures by Susan Pitts, covering aggregate claims, reinsurance, ruin probabilities, no-claim-discount systems, credibility theory and...
We begin by noting that since the claim sizes cannot be 0,
g 0 = (N = 0) = p0 = 0 .
We also note that for the compound distribution to have a value of 1, we
must have a single claim, with a value of 1. So g1 = f1p1 . This will be the basis
for our recursion formula.
Now, mutiply the condition in the question by zn and sum, to get
¥ ¥ æ bö
å n p z n
= å z n ççèça + n ÷÷ø÷÷ pn-1
n =1 n =1
¥ ¥ ¥
zn
å pn z - p0 = å azz pn-1 + b å n pn-1
n n -1
n =0 n =1 n =1
¥ ¥
zn
GN (z ) - p0 = az å z pn + b å pn -1
n
n =0 n =1 n
¥
zn
(1 - az ) N
G (z ) = p 0
+ b å n pn-1
n =1
Differentiating with respect to z
-aGN (z ) + (1 - az )GN¢ (z ) = bGN (z )
a +b
GN¢ (z ) = G (z )
1 - az N
Now, let
Daniel Guetta, 2010
,Actuarial Statistics – 2006 Paper Page 2 of 16
¥
GS (z ) = å gn z n
n =0
We have M S (u ) = GN (M X (u )) , and we also know that G (z ) = M (log z ) , so
GS (z ) = M S (log z ) = GN (M X (log z )) = GN (GX (z ))
Differentiating, we get
GS¢ (z ) = GN¢ (GX (z ))GX¢ (z )
a +b
= G (G (z ))GX¢ (z )
1 - aGX (z ) N X
a +b
= G (z )GX¢ (z )
1 - aGX (z ) S
So
(1 - aG X
(z ))GS¢ (z ) = (a + b)GS (z )GX¢ (z )
We now feed in the fact that [note: the second sum goes from 1 instead of 0
because f0 = 0]
¥ ¥
GS (z ) = å gn z n GX (z ) = å fk z k
n =0 n =1
And get
æ ¥ öæ ¥ ö
b -1 ÷
æ¥ öæ ¥ ö
çç1 - a
å f z a ÷ç
÷
÷ ç å b g z ÷
÷ = (a + b ) ç
ç å g z ÷÷ çå b fb z b -1 ÷÷÷
a ֍
ççè a
a=1
÷ø çèç b =1
b
÷ø çèç a
a =0
÷ø ççè b =1
÷ø
Now, equate coefficients of zr – 1
rgr - a å b fag b = (a + b) å bg a fb
a +b =r a +b =r
r -1 r
rgr - a å (r - a)fagr -a = (a + b)å b fb gr -b
a =1 b =1
And so
r r -1
rgr = å (a b + b b )fb gr -b + å (ar - a a)fagr -a
b =1 a =1
r -1
= å (ar + b b )fb gr -b + (ar + br )fr g 0
b =1
r
= å (ar + b b )fb gr -b
b =1
Which means that
r æ
bj ö
gr = å çça + ÷÷÷ fj gr -j
ç
j =1 è r ÷ø
This is our recursion formula for the g, starting from g1 = f1p1 .
Let us find a and b when
Daniel Guetta, 2010
, Actuarial Statistics – 2006 Paper Page 3 of 16
e -lln
pn =
(1 - e ) n !
-l
Note that
e -lln -1
pn -1 =
(1 - e )(n - 1)!
-l
And so
b p
a+ = n
n pn -1
e -lln
=
(1 - e ) n !
-l
e -ll n -1
(1 - e )(n - 1)!
-l
l
=
n
And so a = 0 and b = l . Our recursion formula becomes
r
lj
gr = å fg
j =1 r j r -j
Starting from g1 = f1p1 .
Daniel Guetta, 2010
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,47. Je zit daarna nergens aan vast.
