Tentamen (uitwerkingen)
DS Algèbre L2 MATHS juin 2021
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UPHF - INSA HdFlicence 2 Mathématiques - Semestre 4 Année 20-21
UE Algèbre 4P
Devoir surveillé du 21 juin 2021
Durée : 2 heures
• Les calculatrices et les documents sont interdits.
• À titre d’indication, il est donné pour chaque exercice du sujet le nombre approximatif de points qui lui sera attribué lors de
la correction.
• Il sera accordé une grande importance dans l’évaluation des réponses à la rigueur et à la qualité de la rédaction.
Rappelez vous en particulier qu’il faut justifier toutes les affirmations que vous mettez dans vos réponses et qu’il faut définir
toutes vos notations, exceptées celles qui sont dans l’énoncé ou bien celles qui sont connues de tous.
Cours (3 points)
On considère un espace euclidien (E, h., .i). On suppose que dim(E) ≥ 2.
Soit u est un endomorphisme autoadjoint de E et soient λ et µ deux valeurs propres de u telles que λ 6= µ.
On note Eλ et Eµ les espaces propres de E relatifs respectivement à λ et à µ.
Montrer Eλ et Eµ sont orthogonaux.
Exercice 1 (7 points)
On considère les trois suites de nombres réels (un ), (vn ) et (wn ), définies pas les relations de récurrences
simultanées suivantes
un+1 = vn + wn ,
∀n ∈ N , vn+1 = un + wn ,
wn+1 = un + vn ,
et par la donnée de trois nombres réels u0 , v0 et w0 .
un
1) On pose Zn = vn , pour tout n ∈ N.
wn
Donner la matrice réelle A telle que : ∀n ∈ N , Zn+1 = AZn .
Exprimer Zn en fonction de A, de Z0 et de n.
2) a) Calculer le polynôme caractéristique de A, noté χA , et donner ses racines.
Déterminer deux matrices, P inversible et D diagonale, telles que A = P DP −1 .
En déduire l’expression de la matrice An en fonction de D, de P et de n.
u
b0
b) Pour ne pas avoir à calculer explicitement P −1 , on pose P −1 Z0 = Z b0 et Zb0 = vb0 .
wb0
Donner les expressions de un , vn et wn en fonction de n et de u b0 , vb0 et w
b0 .
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