Cette fiche est une suite qui résume le concept de la structure algébrique. En parcourant ses pages, vous découvrirez un recap sur les espaces vectoriels, sur les applications linéaires ainsi que de la réduction.
Un espace vectoriel sur un corps 1K est un triplet ( V
,
+, .
) OÙ
•
V est un ensemble
+ est une opération interne Vxv →
v est appelé addition
•
est opération externe IKXV →
v appelé multiplication par scalaire
• .
une un
tq I .
Ku ,
v ,
w E V
,
u + Cv + w ) =
( u + v ) + w
2. 70 C- V
,
tu C- V
,
V + 0
=
0 tu
=
✓
KV E Z V
tq
=
3. V W E ✓ + w W tu =
0
,
4 Fr
t
E V
=
W W tu v + w
,
.
,
5. tt
, µ C- 1K tu c- V
,
X . (µ V ) =
( ✗µ) . ✓
,
.
6 FV E V 1 V -
=
V
,
.
.
7. V1 E IK HVEV, (✗ +
µ) V ✗ v + µ ✓
µ
=
-
,
- .
,
8. KX C- 1K
,
Kv ,
w E V
,
X .
(✓ + w ) =
✗ ✓ .
+ ✗ .
W
-
l Les
génériques
:
.
"
•
Les IR -
espaces vectoriels
:
Rn ,
R [ ×] ,
IRN ,
c ( [ 0,1 ] , IR ) . .
"
•
Les 1k -
espaces vectoriels :
1km
,
1K [ ×] ,
IKN ,
E
2. Des choses que vous avez déjà croisées
Le ¢ espace vectoriel des fonctions périodiques IR à valeurs dans ¢
•
-
sur .
•
Le R -
espace vectoriel ¢ ,
les Q -
espaces vectoriels ☒ [i] , ☒ [ F2 ]
Définition
_
Une base d' une 1K -
espace vectoriel V est une famille ( ei ) de vecteurs de
V
tq
:
ttx c- V il existe une unique famille de scalaires ( ti ) d' éléments de
1K dt seul un nb fini d' ④ émts est non nul et
✗
Exjej
=
Théorème
-
Tout IK espace vectoriel admet des bases
-
Définition
On appelle dimension d' un 1K -
espace vectoriel le cardinal commun de ses bases
]
Exemple : "
1km est un 1K -
espace vectoriel de dimension n
¢ clim dim
☐
est un ¢ -
esp . rect .
de 1 mais IR -
espace rect .
de 2 .
☐ 1kW est un 1K -
espace vectoriel de dimension infinie
, 2
Rappels sur les applications linéaires
Définition
-
Une application UK -
linéaire ) entre 2 K -
esp .
rect .
V, W est une application
f- :
✓ → w
tq
> × C- V f- ( ✗ + ) =
f- ( x) t f- ( y )
, y , y
>
FX E IK FX E V FCN ) =
✗ f- [ × )
, ,
-
Qd les 1K espaces vectoriels V et W dim finies de taille ( mm )
→
-
sont n
,
m matrice
M
=
[ f- (
Vj ) i ] des coordonnées des Fcvj ) dans la base (Wi ) i
ij
Fx =
MX
Théorème
.
L' application Q :
Lik ( V , W) →
M.mn ( IK )
f-
→
Mu , w (f)
envoie F matrice dans les bases V W est un isomphisme
qui sur sa
,
3
Rappel de réduction
Définition
-
Soit f V
endomorphisme On valeur de F tt
→
appelle ✗ Elk
:
v un .
propre
lequel f- ( )
il existe ✗ =/ 0
tq ✗×
=
pour x
Un vecteur satisfait la relation dessus est dit
✗
qui ci vecteur propre
-
de F associé à la valeur propre × .
Les valeurs propres sont les racines Xfct)
=
det ( MF -
ti )
Diagonaliser un
endomorphisme F revient a- trouver une base ( ui ) i de ✓
constituer de valeurs propres .
On sait que F est
diagonalisable
:
•
si XF est scindé à racines simples
F matrice
si admet symétrique
•
une
Théorème -
F
Un endomorphisme sur 1K espace vectoriel est
trigonal isable Ssi ✗f scindé sur 1k
-
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