Samenvatting
Risk Insurance Lecture Notes/Summary
- Vak
- Risk Insurance
- Instelling
- Rijksuniversiteit Groningen (RuG)
A complete and clear summary on all the information needed for the exam for Risk Insurance (EOR, RUG).
[Meer zien]Voorbeeld 3 van de 16 pagina's
Voorbeeld 3 van de 16 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Risk Insurance summaryCarine Wildeboer
April 2022
Contents
1 Chapter 1, Utility Theory and Insurance 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Utility functions and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Useful results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Implications for insurance business . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 The policyholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 The insurance company . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 When is insurance possible? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Stop-loss reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Chapter 2, The Individual Risk Model 4
2.1 Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Moment generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Other transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Mixed distributions and risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Mixed distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Mixed random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Law of iterated expectation or tower rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 The rigid way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 The intuitive way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.3 The ultimate way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Chapter 3, Collective Risk Models 6
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Collective risk model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Properties of compound Poisson distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Individual versus collective risk model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Advanced example: Maximum claim size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Chapter 4, Ruin Theory 8
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Properties of the Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Characterization of the ruin process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Lundberg’s exponential upper bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.5.1 Ruin model with reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.5.2 Discrete-time ruin model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
,5 Chapter 5, Premium 10
5.1 Premium calculation from top-down: a case study . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.1 Basic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.2 Setting premium with the ruin probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.3 Including dividend payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.4 Selecting initial investment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.5 Dividing premium to individual policy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Premium principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2.1 Premium properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3 Coinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Chapter 6, Bonus-Malus Systems 12
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Example of bonus-malus system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3 Loimaranta efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.4 Hunger for bonus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Chapter 7, Ordering of Risks 13
7.1 Stochastic order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.1.1 Definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.1.2 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 Thicker tailed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3 Stop-loss order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3.1 Definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3.2 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3.3 Relations with other orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.4 Exponential order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.4.1 Definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.4.2 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.4.3 Relations with other orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.5 Relation between ordering concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.6 Implications for the ordering concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 Chapter 8 15
9 Chapter 9, Generalized Linear Models in Insurance 15
9.1 Linear Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.2 Generalized linear model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.3 Poisson GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.4 Poisson GLM with exposure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.5 GLM estimation in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
, 1 Chapter 1, Utility Theory and Insurance
1.1 Introduction
St. Petersburg Paradox For price P, enter game. n trials, gain is 2n . Expected gain:
P ∞ n n
n=1 2 (1/2) = ∞. But, unless P is small only a few will enter game.
1.2 Utility functions and their properties
E[(u(w − X)]
• Property 1: Non-decreasing functions: u′ (w) ≥ 0. Marginal utility is non-negative.
• Property 2: Concave (risk-averse agents): u′′ (w) ≤ 0 or convex (risk-loving): u′′ (w) ≥ 0
Remark: E(u(w − X)) ≤ E(u(w − Y )) ⇐⇒
E(a ∗ u(w − X) + b) ≤ E(a ∗ u(w − Y ) + b)
1.2.1 Useful results
Risk aversion coefficient: r(w) of utility func. u(·) at wealth w is:
′′
(w)
r(w) = − uu′ (w)
Jensen’s inequality: If v(·) is convex: E(v(X)) ≥ v(E(X))
If v(·) is concave: E(v(X0) ≤ v(E(X)).
1.3 Implications for insurance business
Policyholders: risk averse, insurance company: risk averse or neutral.
1.3.1 The policyholder
Utility function u(·), is concave or linear and increasing. Buy insurance against loss X for premium
p. Then expected loss: E(X) = µ < ∞. If you buy, utility: u(w − P ). If you do not buy, utility:
E(u(w − X)). By Jensen:
E(u(w − X)) ≤ u(E(w − X)) = u(w − E(X)) = u(w − µ).
Max. premium acceptable: u(w − P + ) = E(u(w − X)) ⇒ P + ≥ µ
1.3.2 The insurance company
Utility function U (·), is concave or linear and increasing. P − : minimum premium company wants
to receive. By Jensen:
U (W ) = E(U (W + P − − X)) ≤ U (E(W + P − − X)) = U (W + P − − µ) ⇒ P − ≥ µ
1.3.3 When is insurance possible?
If P + ≥ P − ≥ µ
1.4 Stop-loss reinsurance
When claims are too big for an insurance company it transfers the risk to a reinsurance company.
Stop-loss reinsurance: For a loss X the payment by the reinsurer to the insurer is:
(
X − d if X > d
(X − d)+ = max X − d, 0 =
0 if X ≤ d
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper carinewildeboer. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €15,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 75632 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen