Samenvatting Algebra 1 - Jaap Top, Groningen University
3 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Mathematics
Instelling
Mathematics
Algebra 1
Jaap Top, Groningen University
1 De gehele getallen
2 Rekenen modulo N
3 Groepen en homomorfismen
4 Permutatie-groepen
5 Groepen van symmetrieen
6 Conjugatie, index en Sylow-groepen
7 Normaaldelers en factorgroepen
8 Homomorfie-en isomorfiestellingen
9 Eindig voortgebrachte a...
1 De gehele getallen
In dit hoofdstuk houden we ons bezig met de verzameling van alle gehele ge-
tallen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Veel elementaire eigenschappen daar-
van zijn ons welbekend uit het lager– en middelbaar onderwijs. Wat daar
evenwel in de meeste gevallen niet gedaan wordt, is zulke eigenschappen ook
echt bewijzen. Dat doen we hier wel, en in latere hoofdstukken zal blijken
hoe dat weer te gebruiken is voor bijvoorbeeld een beter begrip van het re-
kenen met resten bij deling door een vast getal. Dat laatste kan dan op zijn
beurt gebruikt worden voor bijvoorbeeld het vinden van criteria die zeggen
of een gegeven groot getal een priemgetal is of niet. En zo zullen we hier en
in verdere hoofdstukken veel meer voorbeelden zien van soms vrij abstracte
definities en bewijzen, die later in concrete situaties heel goed toepasbaar
blijken te zijn.
1.1 Deling (met rest)
Al op de lagere school komen we sommen als 100 : 7 = 14 rest 2 tegen.
Achter dit soort opgaven ligt het volgende.
Stelling 1.1.1 (Deling met rest.) Laat a, b ∈ Z met b > 0. Dan bestaan er
q, r ∈ Z waarvoor
a = qb + r en 0 ≤ r < b.
Bovendien zijn deze q, r uniek.
Bewijs. We tonen eerst het bestaan van zulke q, r ∈ Z aan. Voor niet-
negatieve a kan dat bijvoorbeeld met volledige inductie: is a = 0 dan kunnen
we q = r = 0 nemen. Weten we dat a − 1 ≥ 0 te schrijven is als a − 1 = q̃b + r̃
met 0 ≤ r̃ < b, dan volgt a = q̃b + r̃ + 1. Er geldt uiteraard 0 ≤ r̃ + 1 ≤ b.
In het geval r̃ + 1 < b kunnen we dus q = q̃ en r = r̃ + 1 nemen. In het
resterende geval r̃ + 1 = b hebben we a = q̃b + r̃ + 1 = q̃b + b = (q̃ + 1)b + 0,
dus q = q̃ + 1 en r = 0 voldoen. Hiermee is volgens het principe van volledige
inductie voor a ≥ 0 de existentie van q, r aangetoond.
Is a < 0, dan is −a > 0, dus uit wat we zojuist bewezen hebben volgt
dat er q 0 , r0 zijn met −a = q 0 b + r0 en 0 ≤ r0 < b. Dan is a = (−q 0 )b − r0 =
(−q 0 − 1)b + (b − r0 ), dus we concluderen dat q = −q 0 en r = 0 voldoen in
het geval dat r0 = 0, en als r0 6= 0 dan kunnen we q = −q 0 − 1 en r = b − r0
nemen.
Nu nog de uniciteit. Stel dat a = q1 b + r1 = q2 b + r2 waarbij 0 ≤ r1 ≤
r2 < b. Dan volgt 0 ≤ r2 − r1 ≤ r2 < b, maar ook r2 − r1 = b(q1 − q2 ). Dus
moet r1 = r2 , want anders zou het een positief veelvoud van b zijn en we
, 1 DE GEHELE GETALLEN 4
hebben al gezien dat r2 − r1 < b. We concluderen dat ook b(q1 − q2 ) = 0, en
omdat b 6= 0 impliceert dit q1 = q2 . Hiermee is de stelling bewezen. 2
Opmerking 1.1.2 Als we wat kennis over reële getallen gebruiken, dan kan
een heel ander bewijs gegeven worden: deel de reële lijn op in intervallen met
lengte b, dus
R = . . . ∪ [−2b, −b) ∪ [−b, 0) ∪ [0, b) ∪ . . . . . .
Het getal a ∈ R ligt dan in één zo’n interval [qb, (q+1)b), en is dus te schrijven
als a = qb + r waarin 0 ≤ r < b.
Definitie 1.1.3 Laat a, b ∈ Z. We zeggen dat a het getal b deelt, als er een
q ∈ Z bestaat waarvoor geldt b = qa. Dit noteren we als a|b. Bestaat zo’n q
niet, dan schrijven we a 6 |b (en we zeggen: a deelt b niet).
In plaats van a deelt b wordt ook wel gezegd dat a een deler van b is, of
dat b een veelvoud van a is, of dat b deelbaar is door a. Bijvoorbeeld geldt
17| − 153 en 0|0 en −2 6 |101 en 0 6 |3.
We geven een aantal eenvoudige eigenschappen van deelbaarheid.
Propositie 1.1.4 Voor a, b, c ∈ Z geldt
1. Als a|b en b|c dan ook a|c.
2. Als a|b en a|c dan ook a|b ± c.
3. a|0 en 1|a.
4. 0|a dan en slechts dan als a = 0.
5. Als voor b 6= 0 geldt dat a|b, dan is |a| ≤ |b|.
Bewijs. Al deze eigenschappen volgen direct uit de definitie. Bijvoorbeeld
impliceert a|b en a|c dat er p, q ∈ Z bestaan waarvoor b = pa en c = qa, en
daaruit volgt dat b ± c = pa ± qa = (p ± q)a, met andere woorden a|b ± c. 2
Uit de laatste in Propositie 1.1.4 genoemde eigenschap volgt, dat een
geheel getal a 6= 0 slechts eindig veel delers heeft; de grootste daarvan is ui-
teraard |a|. Hebben we nog een getal, zeg b, dan hebben dus in het bijzonder
a en b slechts eindig veel delers gemeenschappelijk (twee van die gemeen-
schappelijke delers zijn natuurlijk 1 en −1). Iets dergelijks geldt wanneer we
kijken naar gemeenschappelijke veelvouden van twee gehele getallen a, b. Als
a of b nul is, dan volgt uit de vierde in Propositie 1.1.4 gegeven eigenschap
dat 0 het enige gemeenschappelijke veelvoud is. Geldt daarentegen ab 6= 0,
dan hebben a en b gemeenschappelijke positieve veelvouden, bijvoorbeeld
|ab|. Dit leidt tot de volgende definitie:
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €7,42. Je zit daarna nergens aan vast.
