Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 1 van 17
PARAGRAAF 11.0 : RIEMANN-SOM EN OPPERVLAKTE
LES 1 RIEMANN-SOM
DEFINITIE RIEMANN-SOM
n
Een oppervlakte kun je benaderen met behulp van een Riemann-som = f ( x ) x
i 1
i
VOORBEELD 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van -3 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx=1.
c. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx= ½ .
,Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 2 van 17
OPLOSSING 1
a. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van 1 breed en neem de
gemiddelde hoogte op het interval. Er zijn dus 4 rechthoekjes !
Je kunt met een Riemann-som (rechthoekjes van 1 breed) de oppervlakte uitrekenen
4
Oppervlakte = f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x
i 1
i 1 2 3 4
Totale oppervlakte benadering = 1 ¾ + 3 ¾ + 3 ¾ + 1 ¾ = 11
, Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 3 van 17
b. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van ½ breed en neem
de gemiddelde hoogte op het interval.
Oppervlakte RECHTS :
3 1 1
(1) Rechthoek I van 1½ tot 2 → 𝑂𝑝𝑝𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 ) ⋅ = 0,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(2) Rechthoek II van 1 tot 1½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 4) ⋅ 2 = 2,4375 ⋅ 2 = ⋯
3 1 1
(3) Rechthoek III van ½ tot 1 → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,4375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(4) Rechthoek IV van 0 tot ½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝑉 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
Totale Oppervlakte RECHTS = 5,375
Aangezien de grafiek symmetrisch is , is Opp RECHTS = Opp LINKS :
Dus de Totale oppervlakte benadering = 2 ⋅ 5,375 = 10,75
OPMERKING
Je ziet dat de 2e benadering (uiteraard) beter is !
Hoe kleiner de rechthoekjes, hoe beter de benadering !!
HUISWERK 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van 0 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen 𝑓(𝑥) en de x-as met een Riemann-som en met 𝛥𝑥 = 1.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper tandhiwahyono. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,43. Je zit daarna nergens aan vast.
