College aantekeningen
Hoorcolleges From Quantum to Molecule (X_420545)
- Instelling
- Vrije Universiteit Amsterdam (VU)
Hoorcolleges van het vak From Quantum to Molecule (X_)
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 124 pagina's
Voorbeeld 4 van de 124 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
From quantum to molecule lecturesLecture 1 02/02/2021
Introductie poll
Introductie van de quantum theorie; verschillende beginselen (principles)
1) Golf-deeltje dualiteit → deeltjes kunnen zich gedragen en bewegen als golven (deeltjes
gedragen zich dus als een golf). Golven kunnen zich ook gedragen als een deeltje zoals licht
dat doet in de vorm van fotonen.
2) Golf functie Ψ(x) en geeft alle informatie die je hebt
van je systeem. De functie geeft een waarschijnlijkheid
interpretatie. Het kwadraat van de functie geeft de
waarschijnlijkheid om het deeltje aan te treffen ergens
in de ruimte → er is een grotere kans om het deeltje
aan te treffen op de toppen van de golf.
Een deeltje kan zich vaak maar op één plaats bevinden,
maar dit is bij quantum niet het geval. Je weet niet
waar je het aan gaat treffen, maar je weet dat als je er naar gaat ‘zoeken’ dat de kans het
grootste is om hem aan te treffen bij de toppen van de functie. Je weet bij quantum niet wat
de uitkomst gaat zijn, maar het helpt ons om te uitkomst te voorspellen.
3) Superposition principle als je je deeltje niet op een bepaalde plek
kan vinden, maar je weet dat die op verschillende posities gevonden
kan worden. De quantum theorie vertelt ons welke verschillende
condities (posities) het deeltje aan kan nemen en maakt een
sommatie over deze posities en geeft de staat van het deeltje aan,
dit is de superpositie.
Voorbeeld: kaart kan de conditie dood en levend aannemen
en de superpositie is de sommatie van de twee condities. Er zijn
geen paradoxen bij dit beginsel.
Definitie: het stelt dat voor alle lineaire systemen de nettorespons door twee of meer stimuli
veroorzaakt wordt door de som van de reactie die door elke stimulus afzonderlijk wordt
veroorzaakt.
Staat A = mogelijk, staat B = mogelijk → dus is de som = mogelijk
4) Heisenberg onzekerheid principe
We hebben een deeltje op positie x op momentum px → px = mv = m*dx/dt. Als we nu een
positie meten met een fout Δx en een momentum met error Δp dan vertelt het principle dat
het product hier groter of gelijk moet zijn aan h/2 met h = plankconstante.
Het vertelt ons dat zelfs al hebben we een perfecte meting dat er een limit zal zijn in hoe
goed deze zal zijn omdat de error altijd groter of gelijk moet zijn aan de waard h/2.
Dit werkt als volgt: Als je de formule omschrijft naar bijvoorbeeld de error van Δx en
je gaat ervan uit dat je perfect het momentum kan bepalen en daarmee de error Δpx nadert
, naar 0 dan zal de error Δx naar oneindig naderen en heb je dus werkelijk geen
idee waar je deeltje zich zal bevinden.
Dus: Als je de velocity heel goed meet dan heb je geen idee waar het
deeltje zich bevindt en als je de positie van het deeltje heel goed kan meten dan
heb je geen idee wat zijn velocity is.
Velocity zit in formule voor momentum.
Principles
1. Wave-particle dualiteit = dat onder sommige omstandigheden kan een deeltje zich voordoen als
een golf en onder sommige omstandigheden kan een golf zich voortdoen als een deeltje.
Particle momentum: P = mv m = massa deeltje en v = velocity deeltje
De Broglie golflengte: en vertelt ons op welke golflengte zal een deeltje
interfereren of differentiëren.
h = Plankconstante = 6.26*10-34 m2kg/s →
h met een streepje = constante van Dirac en is variatie op Plankconstante
Voorbeeld:
Je auto is een golf en na de tunnel treedt er diffractie op en is het verschijnsel dat optreedt wanneer
een golf een obstakel of opening tegenkomt. De golven zullen zich buigen rondom het obstakel of
door het diafragma bewegen dat het obstakel biedt (de opening van de tunnel in dit geval) en is
afhankelijk van de grootte van de golven.
m = 1000 kg
v = 100 km/h
p = 2.8*104 kg*m/s
Wat is de golflengte?
λ = h/p = 2*10-38 m
→ Kleine golflengte, dus het golflengte gedrag van je auto zal zich alleen laten zien als je bijvoorbeeld
een tunnel doorrijdt.
Voor een elektron:
v = 0.01c met c = 3*108 m/s
λ = h/p = h/mv = 0.5*10-10 m → deze golflengte is hetzelfde als de scheiding van atomen in een vast
kristal (= een verzameling van atomen die zich in een constant patroon herhalen). Dus zal een atoom
zich zo gedragen omdat zijn de broglie golflengte exact hetzelfde is.
Golffunctie
Focus van het vak ligt op het construeren van een golffunctie die correspondeert
met het systeem.
In de mechanische vakken hebben we geleerd dat er bijvoorbeeld N deeltjes zijn en
de positie en het lineaire momentum van alle deeltje bepaald kunnen worden. In de
quantum kan dit niet en is alle informatie over het systeem zullen samengenomen
zijn in de golffunctie.
Het belangrijkste in de quantum is dat de golffunctie een waarschijnlijkheid interpretatie
heeft en betekent dat het met niet vertelt waar het deeltje zich bevindt of wat de velocity is. Het
geeft een waarschijnlijkheid van het vinden van een deeltje op een bepaalde positie met een bepaald
momentum.
→ Als ik de functie neem en deze kwadrateer dan krijg ik een nieuwe functie die vertelt wat
de waarschijnlijkheiddichtheid is om een deeltje ergens in de ruimte te vinden.
,Ter illustratie:
Het invullen van de punten hiernaast gegeven geeft de waarschijnlijkheid
om een deeltje aan te treffen binnen dit gebied van de golffunctie.
Helemaal links en rechts van de functie zie je dat de kans om het
deeltje aan te treffen heel onwaarschijnlijk is en bij de toppen van de
functie het heel waarschijnlijk is om een deeltje aan te treffen omdat de
uitkomst van het kwadrateren van de functie simpelweg groter is.
Golffunctie als complexe functie
De functie heeft dus een reëel deel en een imaginair gedeelte.
Als je een complex getal hebt dan kan je gebruik maken van complexe
conjugatie waarbij je het teken voor het imaginaire gedeelte
verandert van een + naar – of andersom.
Voor het bepalen van de waarschijnlijkheidsfunctie van de golffunctie
wanneer deze complex is, maak je gebruik van kwadrateren van de
golffunctie zelf en zijn conjugaat → gebruikmakend van i2 = -1
Voorbeeld: Quantum systeem
Golfunctie →
1) Waar is de kans het grootst dat we een deeltje aantreffen?
2) Wat gebeurt er als x naar een limiet nadert?
Complex conjugaat:
Waarschijnlijkheidsdichtheid van x:
Uiteindelijk wordt de waarschijnlijkheidsfunctie dus gegeven door:
→ waarbij het maximum bij x = 0 ligt omdat dat de grootste
uitkomst van de golffunctie geeft. Hier zal het deeltje dus
de grootste kans hebben om aangetroffen te worden.
Wat gebeurt er dan als x naar oneindig nadert?
Dan geeft de golffunctie een waarschijnlijkheid die gelijk is
aan 0 en dus bijna onmogelijk om hier het deeltje aan te
treffen. Hetzelfde geldt voor x die naar oneindig nadert.
Question 1
Consider a quantum system with wavefunction given by psi(x) = (x^2 – L^2)^2 for [x] < L, and psi(x) = -
elsewhere. At which value of the position x it is more likely to find the particle?
a. X = -L and x = L
b. X =-L/2 and x = L/2
c. X = 0
d. X = infinity and x = - infinity
➔ Antwoord c, er geldt dat het aantreffen van het deeltje zijn maximum
vindt bij het maximum van het kwadraat van de golffunctie.
, Question 2
In the same quantum system, is the wave function continuous for x
= L and x = -L
a. Yes, the wave function is continuous at these two points
b. No, the wave function is discontinuous at these two
points
➔ Lager dan -L en hoger dan + L is de golffunctie constant, maar
ertussen NIET
X = 0 is dus het maximum van de golffunctie en geeft aan dat het
hier de grootste kans heeft om het deeltje aan te treffen.
Het maakt niet uit vanuit welke kant je de punten benadert, deze
blijft hetzelfde.
Rode lijn = golffunctie groene lijn = kwadraat van golffunctie
Particle in a box
Het deeltje in een box model is een simpel model waarbij je een deeltje
in een box stopt waaruit het niet kan ontsnappen.
In dit voorbeeld hebben we een doos die loopt van x = 0 naar x = L en
op deze punten is het potentieel V(x) oneindig. Buiten deze muren is
het onmogelijk voor een deeltje om zich te bevinden en deze beweegt
zicht dus tussen x =0 en x = L.
De condities van de golffunctie zijn nu als volgt:
en geeft dus aan dat alles buiten de muren een waarschijnlijkheid van 0 heeft en alles daarbinnen
gegeven wordt door de golffunctie zelf. Dus voor x = 0 en x = L geldt het volgende:
Dus de waardes van de plaatsen van de wanden geeft ook een waarschijnlijkheid die gelijk is aan 0.
Voor elke andere waarden tussen de wanden wordt een waarschijnlijkheid gegeven bijvoorbeeld:
→ is in dit geval het maximum
De golffunctie heeft een waarschijnlijkheid interpretatie.
→ Integraal moet 1 zijn want betekent dat de uitkomst
van alles gelijk aan 1 is en geeft dus de hoogste waarschijnlijkheid. De integraal is de sommatie van
alle mogelijke posities waar het deeltje zich kan bevinden en is dus gelijk aan 1 omdat de
waarschijnlijkheid maximaal is dat het deeltje zich ergens binnen de muren bevindt.
Normalisatie conditie = als de kwadraat van de golffunctie een waarschijnlijkheidsfunctie is dan
moet de integraal gelijk zijn aan 1, anders zijn er bepaalde gebeurtenissen waarbij de kans niet 100%
is dat het deeltje zich er bevindt.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper bodilebosboom. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €10,95. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 52510 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen