Samenvatting
Samenvatting wiskunde voor milieuwetenschappen (NB0302)
- Instelling
- Open Universiteit (OU)
samenvatting van alle leerstof in de leereenheden 1-8 van het vak wiskunde voor milieuwetenschappen
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 45 pagina's
Voorbeeld 4 van de 45 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
Wiskunde leereenheid 1Differentiequotiënt
De gemiddelde helling tussen de punten A en B wordt dan gegeven door het quotiënt
Delta y / delta x = yB-yA / xB-xA
Dit quotient van de verschillen (differenties) van de uitvoerwaarden en invoerwaarden
wordt het differentiequotiënt genoemd (ook wel geschreven als: delta f / delta x)
Behalve voor lineaire functies geldt dat de waarde van het differentiequotiënt niet constant
is, maar afhankelijk is van de ligging van de twee punten A en B.
De helling van een lineaire functie
lineaire functies hebben het functievoorschrift f(x) = ax+ b
a is hier dan de differentiecoëfficiënt en die bereken je hetzelfde als a = y B-yA / xB-xA
Dit is een vast getal: welk tweetal punten op de grafiek je ook invult de uitkomst blijft
hetzelfde. Dit getal is de richtingscoëfficiënt en geeft aan of de grafiek stijgt of daalt en hoe
steil deze loopt. De richtingscoëfficiënt wordt dan ook wel de helling van de grafiek
genoemd.
Momentane snelheid
Als een trein met een constante snelheid rijdt, dan is de afstand een lineaire functie van de
tijd. We spreken dan van een eenparige beweging. De snelheid op elk willekeurig moment
wordt weergeven door de differentiequotiënt tussen twee willekeurige punten van de
grafiek. Deze komt overeen met de richtingscoëfficiënt, of te wel de helling van de grafiek.
Bij een eenparig versnelde beweging is het vinden van de snelheid op een bepaald moment
een stuk lastiger. De waarde van het differentiequotiënt is immers niet constant, maar
afhankelijk van de ligging van de punten A en B. We kunnen dus wel de snelheid tussen twee
willekeurige punten uitrekenen, maar daarmee is nog niet de snelheid op een bepaald punt
berekend. Als we het differentiequotiënt willen gebruiken om iets over de snelheid van een
bepaald punt te zeggen, rijst de vraag: hoe moeten we de punten A en B kiezen?
- Om iets te zeggen over de snelheid op t =1 berekenen we eerst een paar punten
tussen A en B
- Er wordt een raaklijn getekend met het punt t=1 (een rechte lijn)
- Het richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan de momentane snelheid van op t=1
Differentiaal quotiënt
Een preciezere methode om de richtingscoëfficiënt te berekenen is als we van punt B een
variabel punt maken. We weergeven het x-coördinaat hiervan dan met 1+h en het y-
coordinaat met (1+h)2 = 1 + 2h + h2
je vult voor de x in de formule dus 1+h in en de y die daaruit komt vul je in in de
differentiequotiënt.
,bij de berekening van f(xA+h) – f(xa) /(xa+h) -xa mag h nooit 0 zijn.
we willen eigenlijk dat h gelijk is aan 0, maar in de differentiequotiënt mag dat niet. Deze
dubbele rol van h wordt in de wiskunde genoteerd met behulp van limieten.
Bij de vierde uitdrukking mag je dus wel h = 0 zetten!
De uitdrukking f(1+h)-f(1) / (1+h)-1 wordt een differentiaalquotiënt genoemd. Deze wordt
vaak genoteerd als dy/dx in plaats van delta y / delta x
Je berekend met het differentiaalquotiënt de helling van de grafiek van f in het punt A.
(hiervoor moet wel de functie van f en het x-coördinaat van A bekend zijn)
De afgeleide functie van F(x) = x2
Het functievoorschrift van de afgeleide van f(x) = x2 is f(x) = 2x. Deze afgeleide geeft de
heling van de grafiek van f in het punt A (x, x2), dat is de richtingscoëfficiënt aan de grafiek
van f in dat punt.
De machtsregel
we gaan nu de afgeleide functie bepalen van machtsfuncties van de vorm F(x) =x n met n =
3,4,5, etc. In het algemeen geldt:
Als f(x) = xn dan is f’(x) = n * xn-1 (n=2,3,4,5, …)
De machtsregel geldt ook voor negatieve hele exponenten. Bij 1/x 3 schrijven we deze eerst
x-3. Hiervan is de afgeleide f’(x) = -3x-4 en dan kunnen we deze omschrijven in f’(x) = -3/x 4
Differentieregels voor combinatie van functies
De machtsregel is een regel voor het differentiëren van een standaardfunctie, te weten de
functie f(x) = xn met n een geheel getal. Nu gaan we kijken naar regels voor differentiëren
van combinaties van functies.
Algemeen geldt:
Als g(x) = f(x) + c dan is g’(x) = f’(x)
als g(x) = a*f(x) dan is g’(x) = a* f’(x)
Bij een eerstegraads functie is de richtingscoëfficiënt de afgeleide, f’(x) = a
De somregel
als s(x) = f(x) + g(x) dan is s’(x) = f’(x) + g’(x)
we bepalen de functie van s’(x) door eerst de afgeleide van f en g apart te bepalen.
,Raaklijnen
De vergelijking van een raaklijn van een grafiek van f kunnen we berekenen met behulp van
de afgeleide. We kunnen namelijk de waarde van a berekenen met behulp van
differentiëren. Om de a van een raaklijn te vinden moet je x-coördinaat van punt A invullen
in de functie van afgeleide.
De waarde van b vinden we dan door het y-coordinaat van punt A gelijkt te stellen aan ax+b.
en zo kan je b berekenen.
Stijgen en dalen, minima en maxima
voor een willekeurige functie geldt dat de grafiek stijgend is in een zeker punt als de helling
in dat punt positief is, dat is als f’(x) > 0. De grafiek is dalend als de heling negatief is dus
f’(x) <0
In figuur 1.8 is het duidelijk dat tussen de punten
C(0,4) en A(2,2) een punt zit, waar de grafiek van
h overgaat van dalend naar stijgend. In dat punt
gaat de helling van negatief naar positief. Met
andere woorden: de helling in dat punt is 0.
Bovendien is de functiewaarde in dat punt de
laagste functiewaarde tussen 0 en 2. Dit heet een
minimum (lokaal) van de functie
Tussen A(2,2) en B(4,0) is er een punt waar de
grafiek van h van stijgend naar dalend overgaat.
Ook in dat punt is de helling van de grafiek 0. In
dat punt is de functiewaarde de hoogste
functiewaarde tussen 2 en 4. Dit punt heet het
maximum (lokaal)
De punten van de grafiek waarin deze een minimum en maximum heeft worden extremen.
De bijhorende functiewaarden heet extreme waarden van de functie. We kunnen het
minimum en maximum berekenen door gebruik te maken van het feit dat de afgeleide
functie in deze twee punten gelijk is aan 0.
De grafiek van een tweedegraads functie is een parabool. Als dit een dalparabool is, dan is
de top een minimum, als dit een bergparabool is dan is de top een maximum. We kunnen de
x-coordinaat van de top vinden met differentiëren.
een belangrijk verschil met de grafiek van een derdegraads functie is dat de top van een
parabool niet alleen een lokaal minimum of maximum is, maar dat in de top ook de kleinste
of hoogste functiewaarde bereikt wordt over het hele domein bekeken. We spreken dan van
een globaal minimum en globaal maximum
Stationaire punten
een stationair punt van een functie f is een punt waarin de afgeleide functie gelijk is aan 0.
In een stationair punt loopt de raaklijn van de grafiek van f dus horizontaal. Bij het bepalen
van extreme waarden (minima en maxima) met behulp van differentiëren beginnen we altijd
, met het zoeken naar de punten waarvoor geldt f’(x) = 0. De extremen die we zo vinden zijn
dus altijd stationaire punten.
Het omgekeerde is niet altijd het geval. Bijvoorbeeld bij de functie f(x)
=x3. De afgeleide van de functie is f’(x) =3x2. Als we oplossen f’(x) = 0
komt daaruit x = 0. Als we dan nu naar de grafiek kijken van stijgt de
grafiek van f alleen maar. Er zijn hier dus geen extreme. Bij het zoeken
naar extreem is het niet voldoende om de vergelijking f(x) = 0 op te
lossen, we moeten ook kijken hoe de functie in de buurt van de zo
gevonden stationaire punten loopt.
Drie soorten stationaire punten onderscheiden:
- Als de grafiek overgaat van stijgen naar dalen, dan heeft de grafiek een maximum in
het stationaire punt. De afgeleide functie gaat daar dan over van positief naar
negatief.
- Als de grafiek overgaat van dalen naar stijgen dan heeft de grafiek een minimum in
het stationaire punt. De afgeleiden gaat dan over van negatief naar positief.
- Als de grafiek aan beide zijden van het stationaire punt dalend of stijgend is dan is er
geen sprake van een extreem.
Buigpunten
kijk nog een keer naar de grafiek van x3. Deze functie heeft maar één stationair punt
namelijk (0,0). De afgeleide functie 3x2 is links van x =0 overal positief, maar neemt wel af tot
de minimumwaarde f’(0) =0. De grafiek links van x =0 dus overal stijgend, maar deze stijging
wordt kleiner naarmate we dichter bij oorsprong komen. dit verloop van de grafiek wordt
afnemend stijgend genoemd. Rechts van x=0 neemt f’(x) weer toe. De stijging van de
grafiek neemt dus ook weer toe, daar is de grafiek toenemend stijgend.
In het punt (0,0) ‘buigt’ de grafiek van f dus van afnemend stijgend naar toenemend stijgend.
Dit punt wordt daarom het buigpunt van de grafiek genoemd.
Voor de grafiek van de functie -x3 heeft ook het buigpunt (0,0). De
grafiek van is links van x=0 afnemend dalend. De helling is overal
negatief maar de grafiek loopt minder steil naarmate x dichter bij 0
komt. Rechts van x =0 is de grafiek toenemend dalend. In punt (0,0)
buigt de grafiek van afnemend dalend naar toenemend dalend.
Buigpunten hoeven geen stationaire punten te zijn van een grafiek. Zo is in het figuur
hiernaast tussen (-2,64) en (0,0) een buigpunt waar de grafiek het
snelste daalt. Van toenemend naar afnemend. En dezelfde geldt voor
de rechter kant van x =0
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper esmeelooijen. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 73918 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen