Case uitwerking
Kleinste bovengrens eigenschap - uitwerkingen inleveropgave week 11
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Kleinste bovengrens eigenschap - uitwerkingen inleveropgave week 11 Fundamenten van de wiskunde
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 2 pagina's
Voorbeeld 1 van de 2 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Fundamenten uitwerkingen inleveropgave week 1114 december 2021
Inleveropgave:
Hetgeen aan te tonen/te definiëren opschrijven: 0.5pt
Definieer met behulp van de kleinste bovengrens eigenschap van R de functie f : R>0 → R
√
door x → 4 x + 1 (Hierbij alleen gebruik makende van de axioma’s van de reele getallen uit
H2.2 en de lemma’s van H2.3).
Definieer x4 : 0.75 pt.
Voor alle x ∈ R definiëren we x4 als (x2 )2 = (x · x) · (x · x) volgens 2.3.1(2).
Definieer Tr : 0.75 pt.
Neem nu een vaste r ∈ R>0 . Dan kunnen we de verzameling Tr definiëren
Tr = {x ∈ R≥0 | x4 < r}.
Merk op dat Tr niet leeg is: 0.75 pt.
De verzameling Tr is niet leeg aangezien 04 = (0 · 0) · (0 · 0) = 0 · 0 = 0 (Lemma 2.3.2(7)) en
0 < r (per definitie van r).
Laat zien dat Tr een bovengrens heeft (dit kan op meerdere manieren): 5 pt.
Laat x ∈ R met r + 1 < x.
Volgens de definitie van r geldt dat 0 < r en uit 2.2.1(l) dat 1 < r + 1 en dan geeft 2.3.3(2)
dat 1 < x maar ook 0 < r + 1, verder met 0 < 1 geeft 2.3.3(2) ook dat 0 < x.
Aangezien 0 ≤ (r + 1) < x geeft 2.3.3(11) dat (1 + r) · (1 + r) < x · x oftewel (1 + r)2 < x2 .
2.3.3(7) (met 1 + r ̸= 0) geeft dat 0 < (1 + r)2 dus er geldt weer 0 ≤ (1 + r)2 < x2 nogmaals
2.3.3(11) geeft dan (1 + r)2 · (1 + r)2 < x2 · x2 , dit is volgens onze definitie (met 2.3.1(2))
hetzelfde als (1 + r)2 · (1 + r)2 < x4 .
Er geldt 0 ≤ r < r + 1 en 0 ≤ 1 < r + 1, dus geeft 2.3.3(11) dat r · 1 < (r + 1) · (r + 1)
en met 2.2.1(g) dat r < (r + 1) · (r + 1) dus r < (r + 1)2 (2.3.1(2)). Op dezelfde manier
met 0 ≤ 1 < r + 1 geeft 2.3.3(11) dat 1 · 1 < (r + 1) · (r + 1) en met 2.2.1(g) weer dat
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 73918 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen