College aantekeningen
Extra uitleg getallen op R lijn
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Meer dan alleen de reële getallen op een lijn; extra uitleg van de docent.
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 2 pagina's
Voorbeeld 1 van de 2 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
42 1. GETALLENEen lineair geordende lichaamsuitbreiding van de reële getallen*
Veel mensen denk bij het tekenen van een getallenlijn (een rechte lijn op het
papier) aan de reële getallen. We kunnen echter nog meer getallen dan de
reële getallen bedenken die zich ook laten representeren door zo’n getallenlijn.
Hieronder geven we een voorbeeld.
Beschouw de verzameling V van alle gebroken functies p(x)/q(x) met p(x)
en q(x) 6= 0 polynomen met coëfficiënten in R. Voorbeelden van elementen in
V zijn:
x2 3 x3 + x2 + 1 2, 34 ⇡
, 7 , en .
2x x 3x6 8 x 1
De reële getallen kun je opvatten als een deelverzameling van V , aangezien je
elk reëel getal r kunt opvatten als de constante functie 1r (oftewel 1r : R ! R
door x 7! 1r ).
Opgave 1.113. (U) Schrijf in de vorm p(x)/q(x).
1 1
a) x+2 + x+3
x2 +2x 7x 1
b) x5 · x+1
x2 +1
c) ( x ) 1
d) De additieve inverse van x35x
+1
e) De multiplicatieve inverse van x2
Je kunt met de elementen van V net zo rekenen als met de reële getallen (m.a.w.
de verzameling V is ook een lichaam). Om er voor te zorgen dat we V kunnen
voorstellen op de getallenlijn moeten we van elk tweetal verschillende elementen
in V zeggen welke het grootst is en welke het kleinst. Dit doen we als volgt:
voor v(x), w(x) 2 V geldt v(x) < w(x) precies dan als er een natuurlijk getal
n bestaat zodat voor alle r 2 R met r > n geldt v(r) < w(r). M.a.w. als de
grafiek van de functie v(x) vanaf een gegeven moment altijd onder de grafiek
van de functie w(x) ligt, dan geldt v(x) < w(x).
Opgave 1.114. (U) Gebruik de hoofdstelling van de algebra om aan te tonen
dat voor elke v, w 2 V geldt v < w, v = w óf v > w.
Opgave 1.115. (U) Plaats op de puntjes het juiste teken: <, >, =.
a) x1 .... 51
x2 7
b) 1000 .... 10
31
2
c) xx+11 .... x 1 1
d) x1 .... 1234 1
e) x1 .... x12
f) x+1
1 .... 1
x 1
Merk op dat het element x1 groter is dan elk reëel getall. Tevens geldt dat x1
kleiner is dan elk positief reëel getal.
Hoewel V een hoop eigenschappen heeft die R ook heeft (beide zijn immers
lineair geordende lichamen), is er toch een zeer belangrijke eigenschap die R
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 73918 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen