Samenvatting
Samenvatting Uitwerkingen inleveropgave week 11
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Kleinste bovengrens eigenschap - uitwerkingen inleveropgave week 11 Fundamenten van de wiskunde
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
FUNDAMENTEN 2021 – INLEVEROPGAVE WEEK 11MISJA F.A. STEINMETZ
√ √
In dit documnentje laten we zien hoe we de functie : R>0 → R gegeven door x 7→ x
definiëren door alleen gebruik te maken van de axioma’s van R en de supremumeigenschap.
Voor alle x ∈ R definiëren we x2 = x · x. Dit is Definitie 2.3.1 uit [1]. Neem nu een vaste
r ∈ R>0 . Dan kunnen we de verzameling definiëren
Tr = {x ∈ R | x2 < r}.
Deze verzameling is niet leeg, want 0 · 0 = 0 (Lemma 2.3.2(7)) en 0 < r (per definitie van r).
Dus 0 ∈ Tr .
Stel nu dat y ∈ R zodanig dat y > r en y > 1. Dan geldt dat r · y < y · y (Defn 2.2.1(m),
Lem. 2.3.3(8) en Defn. 2.2.1(k)). Ook geldt r · y = y · r (Defn. 2.2.1(f)). Omdat 1 < y en
r > 0 moet ook gelden dat 1 · r < y · r (Defn 2.2.1(m)). Al met al trekken we de conclusie dat
r < y 2 (Defn. 2.2.1(k), (g) en (f)). Dit betekent dat y ∈
/ Tr als y > max(r, 1), dus Tr is van
boven begrensd.
Nu gebruiken we de supremumeigenschap van R om te concluderen dat Tr een supremum
moet hebben in R, noem dit sup(Tr ). Nu kunnen we de wortelfunctie definiëren als
√
: R>0 → R
r 7→ sup({x ∈ R | x2 < r}).
√
We merken op dat formeel gezien dit de definitie van r is voor een r ∈ R>0 , dus we hoeven
niet te bewijzen dat deze functie√aan bepaalde eigenschappen voldoet. Als je dat wilt, dan kan
je als opgave zelf bewijzen dat ( r)2 = r voor alle r ∈ R>0 , maar dit is geen onderdeel van de
inleveropgave. Merk op dat je dit laatste feit min of meer al bewezen hebt in Opgave 1.6.2(b)
– het bewijzen van deze eigenschap zal heel erg lijken op de uitwerking van Opgave 1.6.2(b).
References
[1] Ethan D. Bloch, The Real Numbers and Real Analysis, Springer New York, 2011.
Date: 29 november 2021.
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 79373 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen