College aantekeningen
Extra toelichting opgave 16.2 | Fundamenten van de wiskunde
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Extra toelichting opgave 16.2 | Fundamenten van de wiskunde
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 2 pagina's
Voorbeeld 1 van de 2 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
FUNDAMENTEN 2021 – OPGAVE 1.6.2MISJA F.A. STEINMETZ
In dit document geef ik een schets van de uitwerking van Opgave 1.6.2. Om de inleveropgave
te kunnen maken moet je meer doen dan wat in de schets hieronder gegeven is. Echter, Lemma
A hieronder en standaard resultaten over eigenschappen van elementen van Q uit sectie 1.5 of
eerdere secties van [1] mag je zonder verwijzing gebruiken. De precieze details van het bewijs
moet je zelf invullen voor de inleveropgave.
Ter verduidelijking, voor de inleveropgave mag je gebruiken:
• Lemma A hieronder zolang je ernaar verwijst;
• Standaard eigenschappen van (elementen van) Q uit sectie 1.5 (of eerder) van [1] zonder
verwijzing;
• Opgaven uit [1] uit sectie 1.5 of eerder zolang je ernaar verwijst.
1. Lemma A
Eerst bewijzen we een lemma dat je, met verwijzing, mag gebruiken voor de inleveropgave.
Zonder dit lemma is Opgave 1.6.2 heel moeilijk denk ik. Mocht iemand een oplossing hebben
voor de opgave zonder dit lemma te gebruiken, laat het me dan vooral even weten – ik laat me
graag verbeteren!
Omdat dit Lemma eigenlijk een opgave uit sectie 1.5 zou moeten zijn zal ik proberen
zorgvuldig te verwijzen naar stellingen uit 1.5 (en eerder) die ik gebruik.
Lemma A. Laat r, s ∈ Q. Stel dat r > 1
2
en s > 0. Als r2 > s, dan bestaat er een k ∈ N zodanig
dat r − k1 > 0 en (r − k1 )2 > s.
Bewijs. Stel dat r, s ∈ Q zodanig dat r > 12 , s > 0 en r2 > s. Omdat 2 > 0 (Defn. 1.3.3 en Thm.
1.5.6(3d)), geldt 2r > 1 (Thm. 1.5.5(13)). Dan geldt ook 2r − 1 > 0 (Thm. 1.5.5(12)). Omdat
r2 −s
r2 > s, geldt r2 − s > 0 (Thm. 1.5.5(12)). Dan ook 2r−1 > 0 want (r2 − s) · 1 > (2r − 1) · 0 = 0
(Lem. 1.5.8(6) en Lem. 1.3.8(4)).
Nu zegt Opgave 1.5.9(2) – twee keer gebruikt – dat er n, m ∈ N bestaan zodanig dat m1 < r
r2 −s
en n1 < 2r−1 . Laat nu k = max(n, m) + 1. Dan k ∈ N, dus k > 0 (Thm. 1.3.7(2)). Bovendien
geldt k > n en k > m. Dus zien we dat k1 < n1 en k1 < m1 (Lem. 1.5.8(6)). In het bijzonder geldt
r2 −s
dat k1 < 2r−1 en k1 < r (Thm. 1.5.5(11)). Hieruit volgt meteen dat r − k1 > 0 (Thm. 1.5.5(12)).
Daarnaast k 2 > k (Thm. 1.2.9(5) en k > 1), dus k12 < k1 (Lem. 1.5.8(6)). Daarom volgt uit
Thm. 1.5.5(11) dat
1 r2 − s
(1) < .
k2 2r − 1
Nu zien we dat
1 2r 1
(r − )2 = r2 − + 2 (allerlei uit Thm. 1.5.5 en Lem. 1.5.8)
k k k
1 − 2rk
= r2 + (Lem. 1.5.8(2),(3),(4)).
k2
Omdat k > 1, 2 > 0 en r > 0, geldt 2k > 2 en 2kr > 2r (Thm. 1.5.5(13), twee keer).
Dus geldt ook −2kr < −2r (Exercise 1.5.6(2)). We concluderen dat 1 − 2kr < 1 − 2r en dat
r2 + 1−2rk
k2
< r2 + 1−2r
k2
(Thm. 1.5.5(12), twee keer, en (13)). Daarom geldt nu
Date: 18 november 2021.
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53340 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen