Samenvatting
Samenvatting Uitwerkingen week 8 | Fundamenten van de wiskunde
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Inleveropgave uitwerkingen
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Fundamenten uitwerkingen inleveropgave week 819 november 2021
Inleveropgave:
Gegeven en te bewijzen opschrijven: 1pt
Gegeven: de rij (an )n∈N gedefinieerd door a1 = 1, a2 = 1 en an + 2 = an+1 + an voor
n ∈ N.
Te bewijzen (via volledige inductie): ggd(an+1 , an ) = 1 voor n ∈ N.
Bewijs. .
Een inductiebegin geven : 1pt, ook juist uitvoeren: 1pt (totaal 2pt).
Als inductiebegin moeten we aantonen dat ggd(a2 , a1 ) = 1.
Aangezien ggd(a2 , a1 ) =ggd(1, 1) = 1 geldt inderdaad dat de stelling waar is voor n = 1.
Voor n = 2 merken we op dat ggd(a3 , a2 ) =ggd(2, 1) = 1.
Een correcte inductiehypothese geven : 1,5pt.
We nemen nu aan dat voor n = k met een vaste, doch willekeurige k ∈ N≥2 , er geldt dat
ggd(ak+1 , ak ) = 1.
Inductiestap : 4pt
We bekijken nu ggd(ak+2 , ak+1 ) =ggd(ak+1 +ak , ak+1 ). We merken op dat rest van ak+1 +ak na
deling door ak+1 gelijk is aan ak dit aangezien ak+1 > ak (hierom hebben we ook het geval n =
2 apart bekeken en k ∈ N≥2 genomen). Dus geeft Lemma V.3.6 dat ggd(ak+2 , ak+1 ) =ggd(ak+1 +
ak , ak+1 ) = ggd(ak+1 , ak ). Uit de inductiehypothese volgt ggd(ak+2 , ak+1 ) = ggd(ak+1 , ak ) =
1.
Daarmee is de stelling ook waar voor n = k + 1.
Uiteindelijke conclusie geven en benoemen dat deze uit inductie volgt : 1,5pt.
Uit inductie volgt nu dat ggd(an+1 , an ) = 1 voor elke n ∈ N.
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53340 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen