Samenvatting
Samenvatting Uitwerkingen week 8 | Fundamenten van de wiskunde
- Instelling
- Universiteit Utrecht (UU)
Inleveropgave uitwerkingen
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Fundamenten uitwerkingen inleveropgave week 819 november 2021
Inleveropgave:
Gegeven en te bewijzen opschrijven: 1pt
Gegeven: de rij (an )n∈N gedefinieerd door a1 = 1, a2 = 1 en an + 2 = an+1 + an voor
n ∈ N.
Te bewijzen (via volledige inductie): ggd(an+1 , an ) = 1 voor n ∈ N.
Bewijs. .
Een inductiebegin geven : 1pt, ook juist uitvoeren: 1pt (totaal 2pt).
Als inductiebegin moeten we aantonen dat ggd(a2 , a1 ) = 1.
Aangezien ggd(a2 , a1 ) =ggd(1, 1) = 1 geldt inderdaad dat de stelling waar is voor n = 1.
Voor n = 2 merken we op dat ggd(a3 , a2 ) =ggd(2, 1) = 1.
Een correcte inductiehypothese geven : 1,5pt.
We nemen nu aan dat voor n = k met een vaste, doch willekeurige k ∈ N≥2 , er geldt dat
ggd(ak+1 , ak ) = 1.
Inductiestap : 4pt
We bekijken nu ggd(ak+2 , ak+1 ) =ggd(ak+1 +ak , ak+1 ). We merken op dat rest van ak+1 +ak na
deling door ak+1 gelijk is aan ak dit aangezien ak+1 > ak (hierom hebben we ook het geval n =
2 apart bekeken en k ∈ N≥2 genomen). Dus geeft Lemma V.3.6 dat ggd(ak+2 , ak+1 ) =ggd(ak+1 +
ak , ak+1 ) = ggd(ak+1 , ak ). Uit de inductiehypothese volgt ggd(ak+2 , ak+1 ) = ggd(ak+1 , ak ) =
1.
Daarmee is de stelling ook waar voor n = k + 1.
Uiteindelijke conclusie geven en benoemen dat deze uit inductie volgt : 1,5pt.
Uit inductie volgt nu dat ggd(an+1 , an ) = 1 voor elke n ∈ N.
1
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Direct to-the-point
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper marjavdwind. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 68175 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen