Samenvatting Hele getallen
Schrijvers: Petra van den Brom-Snijders; Jos van den Bergh; Marc van Zanten en Ortwin Hutten
Uitgeverij: ThiemeMeulenhoff, Amersfoort
ISBN; 9789006955361
Oktober 2014
Leerstof: 1,2,3,4,5,7 en 8 (p.225,226)
,Inhoud
Hoofdstuk 1 ............................................................................................................................................. 4
1.1 – getallen zie je overal ................................................................................................................... 4
1.2 – ons getal systeem ....................................................................................................................... 4
1.3. Eigenschappen van getallen ......................................................................................................... 5
1.3.2. PRIEMGETALLEN .................................................................................................................... 5
1.3.3. Volmaakte getallen................................................................................................................ 6
1.3.4. Figurale getallen .................................................................................................................... 6
1.4. Basisbewerkingen ......................................................................................................................... 6
1.4.1. Betekenissen van bewerkingen ............................................................................................. 6
1.4.2. Eigenschappen van bewerkingen .......................................................................................... 7
1.5. Wiskundetaal bij hele getallen ..................................................................................................... 7
1.5.1. Uitspraak en notatie van hele getallen ................................................................................. 7
1.5.2. Relaties tussen getallen en hoeveelheden ............................................................................ 8
1.5.3. De taal van bewerkingen ....................................................................................................... 8
HOOFDSTUK 2.......................................................................................................................................... 9
2.2 Elementair getalbegrip .................................................................................................................. 9
2.2.1. Leren tellen .......................................................................................................................... 10
2.2.2. Rekenvoorwaarden ............................................................................................................. 11
2.2.3. Betekenissen van getallen ................................................................................................... 11
2.2.4. Symboliseren ....................................................................................................................... 11
HOOFDSTUK 3........................................................................................................................................ 12
3.2. Verder werken aan getalbegrip .................................................................................................. 12
3.3. Optellen en aftrekken tot en met 10.......................................................................................... 13
3.3.2. Optellen en aftrekken tot 10 ............................................................................................... 14
3.4. Betekenissen van optellen en aftrekken .................................................................................... 14
3.5. Optellen en aftrekken over de 10 .............................................................................................. 15
3.5.1. Structuren en getal beelden ................................................................................................ 15
3.5.1. Formeel rekenen ................................................................................................................. 16
HOOFDSTUK 4 Basisbewerkingen ......................................................................................................... 17
4.2. Optellen en aftrekken................................................................................................................. 17
4.2.1. Basisstrategieën .................................................................................................................. 17
4.2.3. Omgaan met verschillende oplossingsmethodes................................................................ 19
4.3. Elementair vermenigvuldigen en delen ..................................................................................... 19
4.3.2. Delen.................................................................................................................................... 20
HOOFDSTUK 5........................................................................................................................................ 21
, 5.1. Schets van de leerlijn voortgezet rekenen: ................................................................................ 21
5.2. Hoofdrekenen in de bovenbouw................................................................................................ 21
5.2.1. Globaal en precies hoofdrekenen ....................................................................................... 21
5.2.2. Grip op grote getallen ......................................................................................................... 21
5.2.3. Hoofdrekenend vermenigvuldigen en delen....................................................................... 21
5.3. Schriftelijk rekenen..................................................................................................................... 22
5.3.1. Kolomsgewijs en cijferend optellen .................................................................................... 22
5.3.2. Kolomsgewijs en cijferend aftrekken .................................................................................. 22
5.3.3. Kolomsgewijs en cijferend vermenigvuldigen ..................................................................... 23
5.3.4. Kolomsgewijs en cijferend delen ......................................................................................... 23
5.3.5. Kolomsgewijs versus cijferend rekenen. ............................................................................. 24
5.4. Schattend rekenen ..................................................................................................................... 24
5.5. Rekenen met de rekenmachine ................................................................................................. 25
5.6. Combinatoriek ............................................................................................................................ 25
HOOFDSTUK 7........................................................................................................................................ 26
7.1. Domeinen en doelen .................................................................................................................. 26
7.1.1. Gecijferdheid ....................................................................................................................... 26
7.1.2. Doelen ................................................................................................................................. 26
7.2. Leerprocessen bij rekenen-wiskunde ......................................................................................... 29
7.2.2. Rekenen-wiskunde leren ..................................................................................................... 29
7.2.3. Leertheorieën ...................................................................................................................... 29
7.3. Vakdidactiek rekenen-wiskunde ................................................................................................ 30
7.3.1. Onderwijsleerprincipes rekenen-wiskunde......................................................................... 30
7.3.2. Didactische modellen .......................................................................................................... 31
7.3.3. Ontwikkeling in reken-wiskunde didactiek ......................................................................... 32
Hoofdstuk 8: pagina 225 en 226 ........................................................................................................... 32
8.2.1. Waarnemen: verzamelen van gegevens ............................................................................. 32
,Hoofdstuk 1
1.1 – Getallen zie je overal
Functie van getallen: nummeren, tellen, aantallen aangeven.
Verschijningsvormen:
❖ Telgetal/ordinaal getal: geeft rangorde aan in een telrij (1,2,3,4) of een nummer (eerste,
tweede, derde)
❖ Hoeveelheidsgetal/kardinaal getal: geeft een bepaalde hoeveelheid aan
❖ Naamgetal: het getal heeft een naam (bv. buslijn 4/buslijn A)
❖ Meetgetal: geeft een maat aan (Luuk is 4 jaar, van deur tot hek is 4 meter)
❖ Formeel getal: kaal rekengetal (36 x 125 = 4500)
❖ Natuurlijk getal: de getallen waarmee we tellen. Uitkomsten zijn dan weer natuurlijke
getallen. Behalve bij: 15-47. Dan krijg je negatieve getallen. (Bv. Temperatuur onder nul)
o Gebruik bv een getallenlijn van -6 t/m 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1.2 – ons getal systeem
Talstelsel/getallenstelsel/getalsysteem: het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
Het Arabische getalsysteem kent een decimale structuur (tientallig): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
Een getal bestaat uit 1 of meer cijfersymbolen: 398 = cijfers 3, 9 en 8.
Plaatswaarde/positiewaarde: de plaats/positie van een cijfer bepaald de waarde. In 398: 3 = 300,
9=90 en 8 is 8.
Deze manier van hoeveelheden noteren (positionele notatie) is kenmerkend voor positioneel
getalsysteem.
Nul is belangrijk in ons getalsysteem en zorgt voor de juiste positie van andere cijfers: 7025 (de 7 =
7000 door de nul juist te plaatsen). Elk cijfer heeft een positiewaarde met een macht van 10:
7025: 7 x 1000 + 0 x100 + 2 x 10 + 5 x 1= 7 x 103 + 0 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100
Andere getalsystemen, zoals die van de Maya’s (0 t/m 19) zijn deels positioneel en worden in
positiestelsel gebruikt:
Additief systeem: de waarde van het voorgestelde getal wordt bepaald door het totaal van de
symbolen:
Egyptische getalsysteem:
Oude Romeinse getalsysteem. Ze gebruikten I t/m X. Daarna werd het: XI = 11/ XII = 12 etc. Hierbij
was de waarde van het getal dus een optelling van de hoeveelheid symbolen. Ze maken geen gebruik
van het getal 0.
,Subtractief systeem: als een symbool met een kleinere waarde voor een symbool met hogere
waarden staat: IX. Dit is het geval bij het nieuwe Romeinse getalsysteem: Het getal 14 werd in het
oude Romeinse getalsysteem geschreven als XIIII en in het nieuwe als XIV.
Andere talstelsels:
Binaire talstelsel: tweetallige bundeling (een 0 of een 1). Wordt in de computerwereld gebruikt
Hexadecimale talstelsel: zestientallig
Sexagesimale talstelsel: zestigtallig (in hoek en tijdmeting)
Babylonische talstelsel: (in hoek en tijdmeting)
Octale stelsel: basis 8.
Metriek stelsel: elke eenheid wordt in stappen van 10 groter of kleiner.
1.3. Eigenschappen van getallen
Splitsen en ontbinden
Ontbinden: 171 deelbaar door 9 dus ontbinding 9x19.
Deelbaar door 2: even getallen: laatste cijfer: 0,2,4,6 of 8
Deelbaar door 3: Alle cijfers van het getal los optellen: zit de uitkomst in de tafel van 3? 3, 6, 9, 12,
15, 18, 21 etc.
Deelbaar door 4: Kijk of de laatste 2 cijfers 2 x deelbaar door 2 zijn (want :4= 2:2). Dus 16:4= 16:2:2
Deelbaar door 5: getal eindigt op 0 of 5
Deelbaar door 6: deelbaar door 2 en 3: ze moeten beide kunnen: 18: 2 : 3
Deelbaar door 7: gebruik de snel deel techniek: 67:7 (pak 70:7, dan hou je over 3:7) OF 27986: pak
28000-14 is deelbaar door 7)
Deelbaar door 8: 3 x delen door 2. Bijvoorbeeld 120/128
Deelbaar door 9: zelfde als deelbaar door 3, alles optellen en kijken of het in de tafel van 9 zit.
Deelbaar door 10: getallen eindigen op 0
Deelbaar door 25: getallen eindigen op 25,50,75 of 00
1.3.2. PRIEMGETALLEN
Een priemgetal heeft exact 2 delers: 1 en zichzelf
Ontbinden in factoren: het zoeken naar getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het
oorspronkelijke getal opleveren. Bijvoorbeeld: 85 kan je ontbinden in priemfactoren 5 en 17 (5x 17
=85)
, GGD en KGV
GGD: grootste gemene deler: het gaat om het grootste getal dat deler is van twee of meer hele
getallen. Bijvoorbeeld:
GGD van 24 en 92:
24: 2 x 2 x 2 x 3
92: 2 x 2 x 23
Gelijke priemfactoren zijn 2 x 2. De GGD vind je door de overeenkomstige priemfactoren te
vermenigvuldigen: 2 x 2. Dus de GGD van 24 en 92 = 4
KGV: kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer
getallen.
Bijvoorbeeld: je hebt tegels van 14 bij 26 cm. Hoeveel tegels heb je minimaal nodig om een vierkant
mee te leggen?
26 = 2 x 13 en 14 = 2 x 7
Hier pak je alle getallen die het meeste voorkomen: 2 x 13 x 7= 182
Nu is 7 x (2 x 13) = 13 x (2 x 7). Je legt 7 tegels in de lengte tegen elkaar: 7 x 26 = 182cm
En je maakt 13 van die rijen in de breedte: 13 x 14 = 140+42=182cm. Het getal 182 is het KGV van 14
en 26
1.3.3. Volmaakte getallen
Volmaakt getal: een positief getal gelijk aan de som van zijn delers behalve zichzelf. Bijvoorbeeld: 6.
Als je de delers van 6 optelt (1 + 2 + 3) kom je op 6 uit. De enige 2 volmaakte getallen onder de 100: 6
en 28. Het volgende volmaakte getal is 496.
1.3.4. Figurale getallen
Figurale getallen: getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen zoals een driehoek, een vierkant,
piramide of kubus. Zo heb je driehoeksgetallen, rechthoekgetallen, en vierkantgetallen (kwadranten).
Ook kan je aan een driedimensionaal bouwsel denken: kubusgetallen en piramidegetallen.
V en W getallen:
1.4. Basisbewerkingen
1.4.1. Betekenissen van bewerkingen
Basisbewerkingen: optellen (samennemen, aanvullen, toevoegen), aftrekken (eraf halen, wegnemen,
weghalen, verminderen, wegdenken en het verschil bepalen), vermenigvuldigen (herhaald optellen,
oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken en schaal vergroten) en delen (herhaald
aftrekken, opdelen en verdelen).
Met verschil bepalen bij aftrekken is een eraf opgave op te lossen als een erbij opgave.
Dit wordt zichtbaar door denkstappen te visualiseren met behulp van modelmatige representatie:
het verschil tussen 12 en 9: 3 wegnemen van 12.
