Financial and Actuarial Calculus
Tentamen
In deze samenvatting opgenomen:
✓ Hoofdstuk 2 tot en met 8 uit het boek
✓ Hoorcolleges
,Inhoud
Hoofdstuk 2.............................................................................................................................................. 3
Financieel rekenen ............................................................................................................................... 3
Hoofdstuk 3.............................................................................................................................................. 6
Kansrekenen ........................................................................................................................................ 6
Hoofdstuk 4............................................................................................................................................ 10
Verzekeringen op één leven .............................................................................................................. 10
Hoofdstuk 5............................................................................................................................................ 16
Netto- en brutopremies, de voorziening ............................................................................................. 16
Hoofdstuk 6............................................................................................................................................ 22
Verzekeringen op twee levens ........................................................................................................... 22
Hoofdstuk 7............................................................................................................................................ 26
Pensioenen ........................................................................................................................................ 26
2
,Hoofdstuk 2
Financieel rekenen
Inleiding
Rente of interest wordt gebruikt om de waarde van het gebruik van geld aan te geven. Aan het
berekenen van interest zijn risico’s verbonden. Als interest juist wordt toegepast is het een
economisch smeermiddel, maar als het niet juist wordt toegepast kan er woeker ontstaan.
Hoofdsom, nominale en effectieve interest
De hoofdsom is het bedrag van het geleende of uitgeleende kapitaal. Hierbij wordt lopende of
vervallen interest niet meegerekend. Interest is de vergoeding voor geleend of uitgeleend kapitaal.
Samengestelde interest is vervolgens de interest die berekend wordt over de hoofdsom en de
opgebouwde interest. Enkelvoudige interest is een ander concept, namelijk de interest die berekend
wordt over alleen de hoofdsom. Het interestpercentage gedeeld door 100 wordt het interestperunage
genoemd. Als de interest 8% per jaar is, is het interestperunage 0,08 per jaar. Bij samengestelde
interest geldt het volgende:
𝐾(𝑛) = 𝐾(0) × (1 + 𝑖)𝑛
Met K(0) de hoofdsom op tijdstip t=0, K(n) het kapitaal na n jaar en i het interestperunage. De
variabele n hoeft geen hele waarde te zijn, maar is wel altijd groter dan of gelijk aan nul. Bij
enkelvoudige interest geldt het volgende:
𝐾(𝑛) = 𝐾(0) × (1 + 𝑛 × 𝑖)
Nominale en effectieve interest
Vaak wordt de interest per jaar gegeven. De interest kan echter ook over andere perioden dan een
jaar worden toegekend. Bijvoorbeeld per kwartaal of per maand. Een interest per periode wordt bij een
bank vaak enkelvoudig op jaarbasis weergegeven, maar samengesteld toegepast. Een
interestpercentage van 12% per jaar die per maand wordt betaald, komt namelijk neer op totaal meer
dan 12% per jaar. De interest per periode wordt enkelvoudig op jaarbasis weergegeven, maar
samengesteld toegepast. De periode is hierbij altijd korter dan een jaar. De nominale interest is de
interest op jaarbasis en de effectieve interest is de interest die daadwerkelijk betaald wordt. Bij de
effectieve interest wordt rekening gehouden met alle rekenmomenten per jaar. Het zijn de totale
kosten van de geldlening.
Er is een verband tussen de nominale en effectieve interest. Het effectieve interestperunage kan als
volgt berekend worden:
𝑝 12
𝑟 = (1 + ) −1
12
Met r het effectieve interestperunage en p het nominale interestperunage. Hierbij moet er sprake zijn
van een betalingstermijn in maanden.
Sparen op basis van samengestelde variabele interest
Bij de bank zal het interestpercentage af en toe wijzigen. In dit boek wordt aangenomen dat de
interest per jaar kan verschillen, maar nooit in een jaar zelf kan veranderen. Als dit het geval is geldt
het volgende:
𝑛
𝐾(𝑛) = 𝐾(0) × ∏(1 + 𝑖𝑡 )
𝑡=1
Met het teken dat aangeeft dat alle termen rechts van dit teken met elkaar vermenigvuldigd moeten
worden, K(n) het kapitaal op tijdstip n, i het interestperunage en t de jaren.
3
,De regel van 72
De tijd die nodig is voordat het kapitaal met de huidige interestvoet verdubbeld is, kan als volgt
berekend worden:
𝑛 = 72 / 𝑖
Met i het interestpercentage in gehele getallen en n het aantal jaren. Als de interest dus 8% is, wordt
voor de variabele i een 8 ingevuld. Bovenstaande formule wordt de regel van 72 genoemd.
Slotwaarde en contante waarde
Het eindkapitaal van een kapitaal wordt ook wel de slotwaarde genoemd. Het is de waarde van de
betalingen op een vooraf bepaald moment in de toekomst rekening houdend met samengestelde
interest. Als er sprake is van slechts één betaling, wordt er gesproken van een enkelvoudige
slotwaarde. Een synoniem voor de slotwaarde is de toekomstige waarde of eindwaarde.
Er kan ook andersom beredeneerd worden. De contante waarde is de waarde van een of meer
betalingen nu of in de toekomst op dit moment rekening houdend met samengestelde interest. Als er
sprake is van slechts één betaling, wordt er gesproken van een enkelvoudige contante waarde. Een
synoniem voor contante waarde is huidige waarde.
Als er sprake is van één betaling of kapitaal, kan het verband tussen de slotwaarde en contante
waarde als volgt uitgedrukt worden:
𝑆𝑊 = 𝐶𝑊 × (1 + 𝑖)𝑛
𝑆𝑊
𝐶𝑊 = = 𝑆𝑊 × (1 + 𝑖)−𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
Meetkundige reeksen
De meetkundige reeks
Een rij getallen an wordt een rekenkundige reeks als de termen van de rij opgeteld worden. In formule:
𝑛
𝑟𝑛 = ∑ 𝑎𝑡
𝑡=1
Met het teken dat aangeeft dat alle termen rechts van dit teken bij elkaar opgeteld moeten worden.
Als an gelijk is aan an spreken we van een meetkundige rij. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke
volgende term in de rij gevonden wordt door deze te vermenigvuldigen met hetzelfde getal. Dat getal
wordt de reden genoemd. De rij 2, 4, 6, 8, … is een meetkundige rij, omdat je iedere volgende term
vindt door de voorgaande met twee te vermenigvuldigen. Als we de termen optellen krijgen we de
meetkundige reeks. Een andere benaming daarvoor is geometrische reeks. Een meetkundige reeks
wordt gevormd uit een rij waarbij de termen bestaan uit de som van de termen uit de meetkundige rij.
De bijbehorende meetkundige reeks is 2 + 4 + 6 + 8 …
𝑛
𝑎𝑛+1 − 1
∑ 𝑎𝑡 =
𝑎−1
𝑡=0
De slotwaarde voor een regelmatige rij betalingen
De slotwaarde voor een regelmatige rij aan betalingen ter grootte 1 met duur n en het
interestperunage i waarbij de betalingen aan het eind van iedere periode gedaan worden is gelijk aan:
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑆𝑊 = 𝑠̅̅̅
𝑛| =
𝑖
4
,Het symbool 𝑠𝑛|
̅̅̅ is de notatie van de slotwaarde van een reeks betalingen die aan het eind van iedere
periode gedaan worden. Betalingen die aan het einde van een periode betaald worden, worden
postnumerando betalingen genoemd. Betalingen die steeds aan het begin van een periode betaald
worden, heten prenumerando betalingen. Tot nu toe hebben we alleen postnumerando betalingen
gezien. Een reeks postnumerando betalingen kan heel gemakkelijk omgezet worden in prenumerando
betalingen. Voor prenumerando betalingen geldt:
(1 + 𝑖)𝑛
̅̅̅ = (1 + 𝑖) × 𝑠𝑛|
𝑆𝑊 = 𝑠̈ 𝑛| ̅̅̅ = (1 × 𝑖) ×
𝑖
Het symbool 𝑠̈ 𝑛|
̅̅̅ is de notatie van de slotwaarde van een reeks betalingen die aan het begin van
iedere periode gedaan worden.
De contante waarde van een regelmatige rij betalingen
De contante waarde van een reeks postnumerando betalingen ter grootte van 1 met duur n en
interestperunage i is:
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑎̅̅̅
𝑛| =
𝑖
Het symbool 𝑎̅̅̅
𝑛| is de notatie van de contante waarde van een reeks postnumerando betalingen. Een
andere benaming hiervoor is een annuïteit. De contante waarde van een prenumerando reeks
betalingen ter grootte van 1 is:
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
̅̅̅ = (1 + 𝑖) × 𝑎𝑛|
𝑎̈ 𝑛| ̅̅̅ = (1 + 𝑖) ×
𝑖
Samenvattend:
Contante waarde Postnumerando 1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝐶𝑊 = 𝑎̅̅̅
𝑛| =
𝑖
Prenumerando 1 − (1 + 𝑖)−𝑛
̅̅̅ = (1 + 𝑖) × 𝑎𝑛|
𝐶𝑊 = 𝑎̈ 𝑛| ̅̅̅ = (1 + 𝑖) ×
𝑖
Slotwaarde Postnumerando (1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑆𝑊 = 𝑠𝑛|
̅̅̅ =
𝑖
Prenumerando (1 + 𝑖)𝑛
̅̅̅ = (1 + 𝑖) × 𝑠𝑛|
𝑆𝑊 = 𝑠̈ 𝑛| ̅̅̅ = (1 × 𝑖) ×
𝑖
Tabel 1
Annuïteiten
Het woord annuïteit komt van het Latijnse woord annus, wat jaar betekent. Met behulp van een
annuïteit kan een gelijk betalingsbedrag per periode berekend worden voor aflossing en interest
gezamenlijk. De hypotheek is een bekend voorbeeld. Vaak wordt er per maand achteraf betaald.
Hierbij geldt:
𝑏 = 𝐾 / 𝑎̅̅̅
𝑛|
Met b de maandelijkse betaling en K het geleende bedrag. Bereken eerst 𝑎̅̅̅
𝑛| , de contante waarde van
de reeks maandelijkse betalingen.
5
, Hoofdstuk 3
Kansrekenen
De overlevingstafel
Aan de hand van de overlevingstafel kunnen de kansen berekend worden op overlijden of overleven
van mensen op bepaalde leeftijden. Deze kansen worden bijvoorbeeld gebruikt bij het berekenen van
premies of uitkeringen. Verschillen in overlevingskansen doen zich voor vanwege verschil in geslacht,
land, wel of niet roken, beroep, burgerlijke status, sociale milieus en lifestyle. In een overlevingstafel
wordt per leeftijd en geslacht het aantal nog levenden genoteerd uitgaande van een vast getal aan 0-
jarigen. Dit is 10.000.000. De term sterftetafel wordt gebruikt bij eenjarige sterftekansen afhankelijk
van de leeftijd. Overlevingstafels worden genoemd naar de periode waarop de sterftewaarnemingen
betrekking hebben (jaartal a tot jaartal b), naar het geslacht (M of V) en iedere overlevingstafel bevat
de afkorting GB, die staat voor gehele bevolking. Een voorbeeld van een titel van een overlevingstafel
is dus GBV1118. Het gaat om de overlevingstafel voor Nederlandse vrouwen waarbij de sterfte
waargenomen is van 2011 tot 2018.
De eenjarige overlevingskans en eenjarige sterftekans
De eenjarige overlevingskans is de kans dat een persoon van een bepaalde leeftijd na één jaar nog in
leven is. De eenjarige sterftekans is de kans dat een persoon van een bepaalde leeftijd binnen een
jaar komt te overlijden. Zie bijvoorbeeld onderstaande overlevingstafel.
Overlevingscurve Sterftekans
Leeftijd Man Vrouw Man
x Lx Ly qX qY
35 9.828.677 9.889.904 0.0007614 0.0005209
36 9.821.193 9.884.752 0.0008222 0.0005752
37 0.813.118 9.879.066 0.0009750 0.0006943
Tabel 2
Van de oorspronkelijke 10.000.000 0-jarige mannen zijn er op leeftijd 35 nog 9.828.677 levend. Er zijn
dan dus 171.323 mannen overleden. Er zijn echter nooit 10 miljoen 0-jarige mannen geweest, dus je
moet deze getallen relatief gebruiken. Als Nederlandse man heb je een kans van 171.323 /
10.000.000 = 0.0171323 om vóór je 35e te overlijden. De kans dat een 35-jarige man 36 wordt is
9.821..828.677 = 0.9992386. Dit is de eenjarige overlevingskans. De eenjarige sterftekans is 1
- 0.9992386 = 0.0007615. Dit getal is ook opgenomen in de tabel. Het verband tussen de eenjarige
overlevingskans en eenjarige sterftekans is als volgt:
𝑝𝑥 = 1 − 𝑞𝑥
Met px de eenjarige overlevingskans en qx de eenjarige sterftekans. Hierbij geldt dat x de parameter
voor leeftijd is. Ook geldt:
𝑙𝑥+1
𝑝𝑥 =
𝑙𝑥
Met px de eenjarige overlevingskans, qx de eenjarige sterftekans en lx het aantal overlevenden op
leeftijd x uit de overlevingstafel.
De meerjarige overlevingskans en meerjarige sterftekans
We weten nu hoe we de kans moeten berekenen dat een x-jarige in een bepaald jaar overlijdt.
Mensen leven echter meerdere jaren. Ook die kansen kunnen berekend worden. De meerjarige
overlevingskans is de kans dat een persoon van een bepaalde leeftijd na een bepaald aantal jaren
nog in leven is. De meerjarige sterftekans is de kans dat een persoon van een bepaalde leeftijd
binnen een bepaald aantal jaren overleden is.
6
