Samenvatting van Meten en meetkunde
Hutten, O., Bergh, J. van den., Brom-Snijders, P. van den. & Zanten, M. van. (2014).
Meten en meetkunde, Reken-wiskundedidactiek. Amersfoort, Nederland:
ThiemeMeulenhoff.
Hoofdstuk 1 Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatg greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte,
oppervlakte, inhoud, gewicht en tjdsduur grootheden). De essente van meten is dat een grootheid
wordt afgepast met een maat. Een metng levert een meetgetal op. Voor meten kan je
meetnstrumenten gebruiken.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte
plattegronden, routes, richtngen, eigenschappen van vormen, projectes, schaduwen, sommetrienn,
patronen, 2D, 3D). Het is op te vatten als ruimtelijke orinntate in wiskundige zin.
Ruimtelijk redeneren valt binnen meetkunde.
1.1.1 Meten van inhoud
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat meetkunde. De vraag wat is de inhoud
meten gaat om kwanticeren ergens een getal aan toekennen) van de eigenschap inhoud.
Kwantteit hoeveelheid.
In gedachten doos vullen ruimtelijk redeneren.
Wanneer leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud verschillende vormen kan aannemen, raken
meten en meetkunde met elkaar.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Een meetkundige actviteit als het omvormen van iguren kan worden toegepast bij het meten van
oppervlaktes.
Het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde
oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen.
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
Stelling van Pythagoras
Ook in de stelling van Pothagoras komen meten en meetkunde samen. De stelling beschrijf de vaste
relates tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a 2 + b2 = c2.
Het inzicht dat het kwadraat van een getal voorgesteld kan worden als de oppervlakte van een
vierkant mij zijde bijv.) 3, is nodig om de relate tussen getallen en meetkunde te begrijpen.
De gulden snede
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17 e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de
mooiste verhouding die bestaat ook om meten en meetkunde in allerlei meetkundige iguren
zijn afmetngen volgens deze verhouding terug te vinden.
,Wordt ook wel de goddelijke verhouding genoemd voorbeeld tekening van de Vetruvische man.
Als je een lijnstuk zo in tweenn verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het
grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de
gulden snede te pakken. VB 1 meter stuk 38,2 cm en stuk 61,8 cm.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde komen allebei al vanaf de kleutergroep expliciet aan bod.
Het onderwijs in meten en meetkunde verschaf kinderen het wiskundige gereedschap om hun
dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven kan letterlijk, bijv. liniaal of maatbeker
krijgen greep op bijv. de grootheden lengte en inhoud. In bredere zin als het beheersen van de
wiskundetaal die van pas komt in het dagelijks leven smal, hoog, noord, zuid).
Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het onderwijs zich in beide domeinen
kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding wiskundige
attitude.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ok een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van
gecijferdheid. Gecijferd zijn beschikken o.a. over een groot aantal referentes in het dagelijks
leven.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het meestal om andere handelingen dan bij meetkundeactviteiten;
Bij meetactviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn de kinderen
vooral aan het doen, kennen en begrijpen.
Bij meetkundeactviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relates en het
beredeneren hiervan. Kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en
beantwoorden van de waarom-vraag, gericht op verklaren.
1.2.3 Samenhang in actviteiten
Het heef meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd met andere
reken-wiskundedomeinen en vakgebied aan te werken inrichtng van een winkel of het ontwerpen
van een nieuw schoolgebouw.
Ook in reken-wiskundemethodes is die samenhang regelmatg herkenbaar. Actviteiten rondom
construeren bouwen) en representeren afeelden van de werkelijkheid) vallen binnen meetkunde.
Rondom bouwwerk kan het tegelijkertjd gaan om meetactviteiten.
Andere actviteiten waarin meten en meetkunde beide aan bod komen, liggen op het gebied van
plattegronden, landkaarten en routes: coördinaten, windrichtngen en het bepalen van locates
behoren tot het domein meetkunde; de afstanden en oppervlaktes horen bij het domein meten.
Andere voorbeeldactviteiten liggen op het terrein van tjdzones: lokaliseren/plaatsbepaling
meetkunde. Tijdmetng ligt op het terrein van meten.
,Ook het maken van een zonnewijzer kent zo’n samenhang voorspellen van schaduw onder
meetkunde en tjdmetng onder meten.
Hoofdstuk 2 Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
In het dagelijks leven kom je voortdurend in aanraking met meetgetallen. Meetgetallen zeggen iets
over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij elke grootheid bestaan
verschillende maten of maateenheden eenheden), die afankelijk van de situate worden gebruikt.
We gebruiken ook veel meetreferentes, zoals: 50 km/h in de bebouwde kom en lichaamslengte van
2,12 m is behoorlijk lang. Bij koorts ga je uit van het referentegetal 37.
De stap, het pak sap, het pak suiker zijn voorbeelden van referentematen.
2.1.1 Meetnstrumenten
Bij sommige meetnstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar maatbeker). Andere
meetnstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat rolmaat). Bij digitale
meetnstrumenten is het afpassen verder naar de achtergrond verdwenen. Een unster weeghaak) is
een voorbeeld van indirect metende ene grootheid lente) meet om een andere grootheid te
bepalen gewicht), kwikthermometer is ook een VB.
Op meetnstrumenten staat een schaalverdeling, soms staan er meerdere op maatbeker).
2.1.2 Meetnauwkeurig
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Een afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat
ligt, heet een meetnterval.
Meetouten
De meetnauwkeurigheid van metngen impliceert ook een meetonnauwkeurigheidtreden bij
meten per deinite meetouten opmeetout valt binnen het meetnterval, dat in dit verband wordt
aangeduid als foutenmarge. Meetouten kunnen ontstaan bij de meethandeling zelf om het efect
van zo’n meetout op het meetresultaat te verkleinen, kun je een metng herhaald uitvoeren en
vervolgens het gemiddelde van de meetresultaten nemen. Ook de menselijke reactesnelheid in een
spel kan invloed hebben op het ontstaan van meetouten stopwatch). Bij meetouten die worden
veroorzaakt door de meethandeling is de foutenmarge niet per se hetzelfde als het meetnterval.
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
Als elementaire vorm van meten werden voorwerpen rechtstreeks met elkaar vergeleken. VB
gewicht van een voorwerp met de hand. Aan zulke metngen worden echter geen meetgetal
toegekend; dat gebeurde pas toen men maten begon te hanteren.
Natuurlijke maten
Natuurlijke maat bijv. een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast. Het meten
met zo’n natuurlijke maat volstaat als de metng niet heel nauwkeurig hoef te worden uitgevoerd.
Maat Lichaamsdeel Lengte Onderlinge relate
Duim Breedte van je duim +/- 2,5 cm = ¼ palm
,Palm Breedte van je palm +/- 10 cm = 4 duim
Handspan Afstand tussen de punt van je pink en de punt van je duim +/- 20 cm = 8 duim
bij gestrekte vingers = 2 palm
Voet Lengte van je voet +/- 30 cm = 12 duim
= 3 palm
El Lengte van je gestrekte arm, van de punt van je wijsvinger +/- 70 cm
tot aan je oksel
Vadem Afstand van je rechter- en linkerhand bij zijwaarts gestrekte +/- 180 cm = 6 voet
armen
De morgen werd gebruikt voor de hoeveelheid land die op een ochtend geploegd kon worden: een
tjdsduur dus als oppervlakte maat vormen van indirect meten.
Standaardisering
Het gebruik van natuurlijke maten heef meetonnauwkeurigheid tot gevolg. Daarom werd er per
regio een standaard nagestreefd: een vaste afgesproken maat. Er bestond later behoefe aan
inter)natonale standaardisering.
Eind 18e eeuw werd een stelsel van maten en gewichten vastgesteld in het metriek stelsel meter is
hierin de standaardmaat. Deze kreeg een centrale plaats in het stelsel: aan de basiseenheid meter
werden andere maten gekoppeld VB vierkante meter). Er werd een tentallige maatverijning
afgesproken, waarmee de lengtematen als cm en km op te rekenen zijn naar m.
Maten werden geschrapt na het opstellen van het metriek stelsel, of gelijkgesteld aan nieuwe maten
uit dit stelsel.
Are vierkante decameter
Bundervierkante hectometer / hectare
Ons 100 gram
Pond 500 gram
De huidige internatonale afspraken voor een groot aantal grootheden en eenheden liggen vast n het
in 1960 opgestelde SI-stelsel of Internatonaal Stelsel van Eenheden. Binnen het basisonderwijs
wordt gewoonlijk de term metriek stelsel gehanteerd.
Het imperiale systeem
In sommige landen wordt er een ander sosteem van maten gehanteerd imperiale sosteemkent
de lengtematen als volgt:
Maat Symbool Onderlinge relate Lengte in cm
Inch In of “ - 2,54 cm
Foot f of ‘ =12 inches 30,48 cm
Yard od =3 feet 91,44 cm
Mile mi =1760 oard 1609,344 m
Het gaat hier om mate die een historische oorsprong hebben: inch en foot zijn vergelijkbaar met de
oude maten duim en voet in NL.
Omrekenen van het imperiale sosteem naar het metriek stelsel is ingewikkeld. In het imperiale
sosteem is geen sprake van een tentallig structuur. Sommige meetnstrumenten worden uitgevoerd
met beide maatsostemen rolmaten).
2.1.4 Wiskundetaal bij meten
, Grootheden binnen het metriek stelsel
In het metriek stelsel staan de maten en onderlinge relates beschreven voor de grootheden lengte,
opp., inhoud en gewicht.
Grootheid Centrale standaardmaten Symbool
Lengte Meter m
Oppervlakte Vierkante meter m2
Are a
Inhoud Kubieke meter m3
Liter l
Gewicht Kilogram kg
Maten die zijn afgeleid van de centrale standaardmaten worden aangegeven met voorvoegsels,
waarvoor Griekse en Latjnse woorden voor honderdste, ten, duizend, enz. zijn gekozen.
Bijvoorbeeld:
Voorvoegsel Afkortng/symbool Betekenis: … keer de centrale standaardmaat
Micro μ 1/1000000
Milli m 1/1000
Cent c 1/100
Door de tentallige opzet van het stelsel zijn opeenvolgende lengtematen steeds met een factor 10
groter decimale relate tussen de lengtematen. Bij oppervlakte is sprake van een kwadratsche
relate: opeenvolgende oppervlaktematen zijn steeds een factor 100 groter. Bij opeenvolgende
kubieke inhoudsmaten gaat het steeds om een factor 1000 kubische relate.
De decimale maatverijning is een essenteel kenmerk van het metriek stelsel kan altjd een
passende maat gekozen worden, passend bij het doel van de metng en de vereiste
meetnauwkeurigheid.
Overige grootheden
Snelheid is een samengestelde grootheid wordt bepaald door een afstand te meten per vaste
tjdseenheid. De omvang van digitale data die zijn opgeslagen op een informatedrager usb) kan ook
worden beschouwd als grootheid.
Grootheid Standaardmaat Symbool
Temperatuur Graad Celsius C
Graad Fahrenheit F
kelvin K
Tijd Seconde s
Minuut min
Uur u
Snelheid Meter per seconde m/s
Kilometer per uur km/u
Geld Euro €
waarde) Amerikaanse dollar $
Zwitserse frank Fr.
Dichtheid Inwoners per vierkante km Inw/km2
Kilogram per kubieke meter kg/m3
Hoek Graad
Radiaal rad
Digitale Bit b
data Bote B
, 2.2 Grootheden en maten
Transitviteitseigenschap van oppervlakte) oppervlakte van een iguur is gelijk aan de som van de
oppervlakten van de afzonderlijke delen van het iguur.
Dit geldt niet voor temperatuur. Wanneer je twee glazen water met een bepaalde temperatuur bij
elkaar doet krijgt het nieuwe glas een gemiddelde temperatuur en niet de twee temperaturen bij
elkaar opgeteld.
2.2.1 Lengte
De grootheid lengte kan over verschillende dingen gaan. Ook omtrek is een vorm van lengte. Lengte
kan ook afstand inhouden. En bij het opmeten van voorwerpen zoals een kast gaat het om hoogte,
breedte en diepte.
Omtrek
De omtrek van een iguur kun je bepalen door in gedachten) een touwtje om de iguur heen te
leggen de lengte van het touwtje dat daarvoor nodig is, is de omtrek formule:
lengte+breedte+lengte+breedte, ofwel: 2 x lengte + 2 x breedte.
Tussen de omtrek van een cirkel en de diameter ervan bestaat een vaste verhouding pi/
3,/7). De omtrek va neen cirkel is keer de lengte van de diameter omtrek= x d = 2 x
x r) d=diameter, r=straal.
2.2.2 Oppervlakte
Bij de oppervlakte van een voorwerp kun je denken aan de hoeveelheid materiaal om dat voorwerp
volledig te bedekken ook 3D voorwerpen kanuitslag van te maken of het te verven).
Een van de standaardmaten voor oppervlakte is de vierkante meter. De aanduiding ‘vierkante’ komt
overigens niet letterlijk overeen met de realiteit ronde tafel van 1 m 2).
Are is de oppervlakte van 10 x 10 meter 100 m 2). Via de voorvoegsels worden centare 1 x 1 m, 1
m2) en hectoare/hectare 100 x 100, 10000 m 2) verkregen.
De samenhang tussen lengte en oppervlakte wordt duidelijk als de maten van een rechthoekig
voorwerp veranderen. Als de afmetngen twee keer zo groot worden, wordt de oppervlakte in beide
richtngen verdubbeld oppervlakte wordt dus vier keer zo groot.
Het bepalen van de oppervlakte kan plaatsvinden via afpassend meten VB met hokjesrooster, hoe
kleiner de hokjes, hoe preciezer de oppervlakte wordt benaderd. Daarbij kun je gebruikmaken van
omvormen.
2.2.3 Inhoud
Bij inhoud kan gedacht worden aan ‘dat wat er in past’. Een begrip dat in plaats van inhoud ook
wordt gehanteerd hoewel niet vaak in het basisonderwijs) is volume.
Kubieke maten worden onder andere gebruikt voor de inhouden van vertrekken en gebouwen
referente maat; onderste helf van de douchecabine of een zak voor een ‘kuub’ puin.
Kubieke centmeter cc .
Bij litermaten gaat het om een decimale relate tussen opeenvolgende maten. Aangezien een liter
overeenkomt met een dm3 geldt ook dat een millimeter overeenkomt met een cm 3 en een kilometer
