College aantekeningen
Quantum mechanics homework help 6
- Vak
- Instelling
Homework help and full answer written by me on the quantum mechanics course.
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 7 pagina's
Voorbeeld 2 van de 7 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
guillemcucurull
Voorbeeld van de inhoud
PY452 Homework 6Guillem Cucurull
28 October 2021
1 Problem 8.2
Find the best bound on Egs for the one-dimensional harmonic oscillator using
a trial wave function of the form
A
ψ(x) =
x2 + b2
where A is determined by normalization and b is an adjustable parameter.
We need to first find A by normalizing ψ(x):
Z +∞ Z +∞ Z +∞
A 1
⟨ψ(x)|ψ(x)⟩ = ψ(x)ψ(x)∗ dx = ( 2 2
)2
dx = 2|A|2
dx
−∞ −∞ x + b 0 (x + b2 )2
2
We substitute the following: x = btanα, so dx = dαbsec2 α; and 1 + tan2 x =
2
cot x
+∞ Z +∞
bsec2 α 2A2 +∞
Z Z
2 1 2 1
2A 2 + b2 )2
dx = 2A 2 tan2 α + b2 )2
dx = 3 2 α)(1 + tan2 α)2
dα
0 (x 0 (b b 0 (cos
2A2 +∞ 2A2 π A2 π
Z
= 3 cos2 α dα = 3 = =1
b 0 b 4 2b3
q
3
Therefore A = 2bπ
Now we find ⟨H⟩ = ⟨T ⟩ + ⟨V ⟩
∞
h̄2 2 d2
Z
1 1
⟨T ⟩ = − A dx
2m −∞ x2 + b dx2 x2 + b2
2
d2 1
Let´s find dx2 x2 +b2
separately:
d2 1 d
= (−1)(x2 +b2 )−2 (2x) = (−2x)(−2)(x2 +b2 )−3 (2x)−2(x2 +b2 )−2
dx2 x2 + b2 dx
8x2 2 6x2 − 2b2
= − =
(x2 + b2 )3 (x2 + b2 )2 (x2 + b2 )3
1
, We plug back into ⟨T ⟩
∞
2h̄2 2 3x2 − b2 2h̄2 2b3 h̄2
Z
π
⟨T ⟩ = − A dx = − ( )(− ) =
m 0 (x2 + b2 )4 m π 16b5 4mb2
∞ ∞
x2 x2 3
Z Z
1 2 2 π 2 2b π 1
⟨V ⟩ = mw2 A2 dx = mw2 A2 dx = mw A = mw = mw2 b2
2 −∞ (x2 + b2 )2 0 (x2 + b2 )2 4b π 4b 2
Therefore
h̄2 1
⟨H⟩ = ⟨T ⟩ + ⟨V ⟩ = + mw2 b2
4mb2 2
∂
We now minimize ⟨H⟩ to get ⟨H⟩min by ∂b
∂ −h̄2
⟨H⟩ = + mw2 b = 0
∂b 2mb3
2 1
so we have b4 (2m2 w2 ) = h̄2 . Thus b = ( 2mh̄2 w2 ) 4
So
√ √ √
h̄2 1 2 2 h̄2 1 2 h̄2 1 2 2 2
⟨H⟩min = + mw b = + mw [( ) 4 ]2 = h̄w( + ) = h̄w
4mb2 2 h̄2 1
2 2 2m 2 w2 4 4 2
4m[( 2m2 w2 ) ]
4
√
2 1
We see that 2 h̄w> 2 h̄w, which is the expected value.
2 Problem 8.3
Find the best bound on Egs for the delta function potential V (x) = −αδ(x),
using a triangular trial function (Equation 8.10, only centered at the origin).
This time a is an adjustable parameter.
Ax 0 ≤ x ≤ a2
a
ψ(x) = { A(a − x) 2 ≤x≤a
0 otherwise
The trial function is centered at the origin with the same form so:
A( a2 + x) − a2 ≤ x ≤ 0
ψ(x) = { A( a2 − x) 0 ≤ x ≤ a2
0 otherwise
We need to first find A by normalizing ψ(x):
+∞ 0 +a
a3 a3 A2 a3
Z Z Z
a 2 a
⟨ψ(x)|ψ(x)⟩ = ψ(x)ψ(x)∗ dx = A2 ( +x)2 dx+ A2 ( −x)2 dx = A2 ( + ) = =1
−∞ −a
2
2 0 2 24 24 12
2
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Direct to-the-point
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper guillemcucurull. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 65040 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
Laatst bekeken door jou
Samenvatting ·
Samenvatting Duurzame Distributie
Tentamen (uitwerkingen) ·
Inside Prisons Quiz Question and Answer
Overig ·
NRNP 6531 SOAP NOTE 1(Patient initials:RB)
Voordeelbundel ·
ergotherapie 2e jaar semester 1
Tentamen (uitwerkingen) ·
HESI EXIT V2 EXAM QUESTIONS AND ANSWERS
College aantekeningen ·
Predikaat logica: Een eenvoudige theorie
Samenvatting ·
ATI OB PEDS EXAM FULL STUDY GUIDE
Samenvatting ·
Samenvatting - Logica en formele systemen
