College aantekeningen
Quantum mechanics homework help 8
- Vak
- Instelling
Homework help and full answer written by me on the quantum mechanics course.
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 6 pagina's
Voorbeeld 2 van de 6 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
guillemcucurull
Voorbeeld van de inhoud
PY452 HW8Guillem Cucurull
November 2021
1 9.1
Use the WKB approximation to find the allowed energies (En of an infinite
square well with a “shelf,” of height V0 , extending half-way across (Figure 7.3):
V0 0 < x < a2
V (x) = { 0, a2 < x < a
∞ otherwise
2
Express your answer in terms of V0 and En0 = (nπh̄)
2ma2 and (the nth allowed
energy for the infinite square well with no shelf). Assume that E10 > V0 , but do
not assume that En ≫ V0 . Compare your result with what we got in Section
7.1.2, using first-order perturbation theory. Note that they are in agreement
if either is very small (the perturbation theory regime) or n is very large (the
WKB—semi-classical—regime).
Z a
|p(x)| dx = nπh̄
0
So for our case
Z a2 p √ √ √
Z a √ a 2m p a 2m √ a 2m p √
2m(E − V0 ) dx+ 2mE dx = E − V0 + E= ( E − V0 + E)
0 a
2
2 2 2
We want to find E, so we square the equation above to find a simplification
2n2 π 2 h̄2 p
= 2E − V 0 + 2 E(E − V0 )
ma2
We again want to find E, so the term on the left is a constant we call α, thus
p
α − 2E + V0 = −2 E(E − V0 )
(α − 2E + V0 )2 =
and
4E(E − V0 ) = 4E 2 − 4EV0
Therefore
(V0 + α)2
E=
4α
1
, 2 9.3
Use Equation 9.23 to calculate the approximate transmission probability for a
particle of energy E that encounters a finite square barrier of height V0 > E
and width 2a. Compare your answer with the exact result (Problem 2.33), to
which it should reduce in the WKB regime T ≪ 1.
T = e−2γ
with
1 a
Z
|p(x)| dx
γ=
h̄ 0
Problem 2.33 gives the exact result of
1
T = V02
1+ sinh2 γ 4E(V0 −E)
Also, this is for the case that T ≪ 1, which by T = e−2γ we know that γ ≫ 1
We know for the width 2a that
p
|p(x)| = 2m(V0 − E)
Thus Z 2a
1 p 1 p
γ= 2m(V0 − E) dx = 2a 2m(V0 − E)
h̄ 0 h̄
which means that
1
√ −4a
√
T = e−2( h̄ 2a 2m(V0 −E)) = e h̄ 2m(V0 −E))
We need to compare our answer to the exact result of Problem 2.33, so let’s
break it down. We know
ex − e−γ
sinhγ =
2
so
eγ − e−γ 2
sinh2 γ = ( )
2
which can be approximated to
e2γ
sinh2 γ =
4
Therefore we get the result
1
T = V02
e2γ
1+ 4 4E(V0 −E)
Since γ ≫ 1, we can neglect all other factors. Therefore, the WKB approxima-
tion for T gives
T = e−2γ
p
where our γ = 2a h̄ 2m(V0 − E)
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper guillemcucurull. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €9,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 72042 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen