Solutions for Random Signals and Noise, 1st Edition Engelberg (All Chapters included)
12 keer bekeken 0 keer verkocht
Vak
Analysis of Signals And systems
Instelling
Analysis Of Signals And Systems
Complete Solutions Manual for Random Signals and Noise, 1st Edition by Shlomo Engelberg ; ISBN13: 9780849375545.(Full Chapters included Chapter 1 to 11)....1.ELEMENTARY PROBABILITY THEORY
2.AN INTRODUCTION TO STOCHASTIC PROCESSES
3.THE WEAK LAW OF LARGE NUMBERS
4.THE CENTRAL LIMIT THEOREM
5.EXT...
SOLUTIONS MANUAL FOR
Random Signals
and Noise:
A Mathematical
Introduction
Complete Chapter Solutions Manual
are included (Ch 1 to 11)
by
Shlomo Engelberg
** Immediate Download
** Swift Response
** All Chapters included
8861.indd 1 9/8/08 3:39:43
,Solutions Manual
Summary: In this chapter we present complete solution to the
exercises set in the text.
Chapter 1
1. Problem 1. As defined in the problem, A−B is composed of the elements
in A that are not in B. Thus, the items to be noted are true. Making
use of the properties of the probability function, we find that:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B − A)
and that:
P (B) = P (B − A) + P (A ∩ B).
Combining the two results, we find that:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
2. Problem 2.
(a) It is clear that fX (α) ≥ 0. Thus, we need only check that the
integral of the PDF is equal to 1. We find that:
Z ∞ Z ∞
fX (α) dα = 0.5 e−|α| dα
−∞ −∞
Z0 Z ∞
α −α
= 0.5 e dα + e dα
−∞ 0
= 0.5(1 + 1)
= 1.
Thus fX (α) is indeed a PDF.
(b) Because fX (α) is even, its expected value must be zero. Addition-
ally, because α2 fX (α) is an even function of α, we find that:
Z ∞ Z ∞
α2 fX (α) dα = 2 α2 fX (α) dα
−∞ 0
1
, 2 Random Signals and Noise: A Mathematical Introduction
Z ∞
= α2 e−α dα
0
Z ∞
by parts
= (−α2 e−α |∞ 0 + 2 αe−α dα
0
Z ∞
by parts
= 2(−αe−α |∞ 0 ) + 2 e−α dα
0
= 2.
Thus, E(X 2 ) = 2. As E(X) = 0, we find that σX
√
2
= 2 and σX =
2.
3. Problem 3.
The expected value of the random variable is:
Z ∞
1 2 2
E(X) = √ αe−(α−µ) /(2σ ) dα
2πσ −∞
Z ∞
u=(α−µ)/σ 1 2
= √ (σu + µ)e−u /2 dα.
2π −∞
2
Clearly the piece of the integral associated with ue−u /2 is zero. The
remaining integral is just µ times the integral of the PDF of the standard
normal RV—and must be equal to µ as advertised.
Now let us consider the variance of the RV—let us consider E((X −µ)2 ).
We find that:
Z ∞
1 2 2
E((X − µ) )2
= √ (α − µ)2 e−(α−µ) /(2σ ) dα
2πσ −∞
Z ∞
u=(α−µ)/σ 2 1 2
= σ √ u2 e−u /2 dα.
2π −∞
As this is just σ 2 times the variance of a standard normal RV, we find
that the variance here is σ 2 .
4. Problem 4.
(a) Clearly (β − α)2 ≥ 0. Expanding this and rearranging it a bit we
find that:
β 2 ≥ 2αβ − α2 .
(b) Because β 2 ≥ 2αβ − α2 and e−a is a decreasing function of a, the
inequality must hold.
(c)
Z ∞ Z ∞
2 2
e−β /2
dβ ≤ e−(2αβ−α )/2
dβ
α α
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper mizhouubcca. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €28,53. Je zit daarna nergens aan vast.
