These notes, taken for Mathematics 1B for Engineers (MAM1021S), serve as a comprehensive resource for the course. They are compiled from both in-class lectures and provided notes from the instructor. The content is structured in a sequential manner, covering the entire syllabus of the course. These...
Engineering math 115 Number sets, Inequalities & Absolute values
Engineering math 115 Functions & types of functions
Alles voor dit studieboek
(15)
Geschreven voor
University of Cape Town (UCT)
Mathematics 1B for Engineers (MAM1021S)
Alle documenten voor dit vak (1)
Verkoper
Volgen
elizabeth6666
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
Maths notes
Semester 2
, me
Integrals
imme
Review of Integration
An ANTIDERIVATIVE of f is a function F
>
such that -
dx
(F(x)] =
f(x)
The INDEFINITE INTEGRAL of f is the infinite
family of antiderivatives F(x) + C
(f(x)dx =
f(x) + C
The DEFINITE INTEGRAL of f from a to ↳
is the
signed bounded
by c= x b
=
area a
;
y
=
f(x) ; y
=
0
1
I'll a
Area-lim f(x, &x
n+ 0k = 1
This evaluated the FTC
can be
using
Area =
"f(x) dx
=
F(b) -
F(c)
E
, imme
Review of Integration
EX
5x
.
fxdx = + C
jxdx [5 1·
3
=
x + C
I =
5(2) + -
(5(k Fe)
=
E
meet
Integration by Substitution
Ex .
[20c . cos(s) dx LET x =
u
=
a
Scos(u) -
↳ CHAIN RULE
=
Scos(u) du
=
sin(u) + C
:
sin(x) + C
* CHAIN RULE :
Scos(u) dxc =
/ [sin (2)] o
e
=> (sin(u)] (u
dx
=
sin
, meet
Integration by Substitution
I 2
EX -
- x
S >c2 dx let u
= -
x
au=
O
value of u
- A change
S -
-C ·
"oc du
s
-
dx
=
Is
- du
- -Je
-
I
-F(c I
U
au
=
-
O
O
-
=
H -
el
-
=
E(t -
1)
Ex .
Soc Vect2 do let V =
x + 2
A - I
It
Sx
= an dx
du =
doc
I
2)
S(v ~ av
-
=
=
Sve -zu av
-
z -A + C
-
E(x
+ 2) -
(x+ 2) + c
, immense
Integration by Parts
Product rule
(fg)' =
fg +
fg)
d
fg =
(f'gax +
Sfg'dx
=>
Sf'gdx =
fg-Sfg'dx * FORMULA
6
Ex .
(xc .
cos(oc) doc
↑ ↑
9 >
-
g =
1 f =
since
=
xsin(x) /sinx I
-
.
do
=
xsin(x) +
cosx + C -
ADD + C WHEN No
MORE
S
!!! CHECK
[xsinxc + cosx + c]
=
Six + inx !!!
=
xCossa occosoc # SAME
, immense
Integration by Parts
IF ...
So cosoc doc
↓ ↓
- 9
-x g'
&
- = =
-sino
= Cossa +
Sjxsinx dx
-
MORE COMPLEX THAN
ORIGINAL
↳
DO OTHER WAY
Ex
.
Sarctan (c). I doc
↓ >
- add x 1 B MUST
g MAKE FI
g' =
1 +
I
x
>
- = xC
=
Sarctan(x) -J x 1 +
doc
-5) The
2
=
arcton u =
1 + 0
x .
(c) -
- = Zoc
=
xc .
arcton(x) -[Inful + C daC
=
arctan(x) (n)1 + C
x =
+
x . -
+ x
, imme
Integration by Parts
3t
S
2
Ex .
t e
O d d
g
-' g' =
2t f =
523t
want
MAKE SIMPLER
=
[5 rest] !
+
-
=teat
↓
>
- Do IBP AGAIN
g
O
fl
g 2 =
== 5
- -
0 -
[te't' Ect g
at
=+
* /estjo
3
-
+
3
O
-ja - -
, mens
Integrals with Trig functions
Stasc f f
-
Cos sins COSOC
sinx COSOC -
sinoc
-
In(cosod tanoc seco
? seco secoctanx
TRIG IDENTITIES
cos2 x + sin2 x
= I
sin 2x =
asinkcoss
cos2x = 1 -Isin2x = 2cos - I
1 + tan(x) =
Seco
Ex .
[secos doc
secx + tanx
=
x
sec
Seco + tans
&Seco
+ Secostanza
=
do let u =
Seco + tand
Secoct fansc
du = Secostano + seco
du doc
S -
= dx
*
u
=
Stau =
(n(u) + C
=
In/secx + tanxl + C
, mens
Integrals with Trig functions
Ex .
/sinGcosodo let u = sin O
=
cost
Su
=
=
sin C
Ex .
(secit)ton(t) de let u
=
Sec(t)
n -
sec(t)tcn(t)
=
Su
-
dt
=
↳ us + C
=
-se(t) + c
Ex
.
(cos(0) do * cos20 =
2 coo -
I
Cos20 + 1 =
cosO
= (cos (20) + 1 do Z
-
(tsin(20) + 0) + C
-
* sin(20) +
4 + C
, mens
Integrals with Trig functions
Ex .
[sin 0 cos'6 ao
-
u =
=
sin O
CosO =
I
du
-2
3 I
Sus COSO
=
cos O do dO
COS O
-
Su (1 Sus-
7
=>
-
sir 8) du
=
u du
-jut -**
I
+
C
-sin'o -Tsin8 + C
We can use this whenever we want to
[sin" (0). cos" (8)
integrate 90 B p or
q
is Odd
Ex .
(sin" (x) .
cos" (3) as
*
sin" (c)
S . . cos(c)
(x)
=
cos dx
=
(sin "(x)
*
. (cos"(x))" . cos(o) do
=
S sin" (x). (1 -
sinpcl)". cos() doc
let u =
sin(x) = cossc
=
S 434(1 -
12)"du
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper elizabeth6666. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €10,87. Je zit daarna nergens aan vast.
