Samenvatting rekententamen
Kerninzichten rekenen en wiskunde
Hoofdstuk 1: Tellen en getallen
Bij tellen en getallen verwerven kinderen het inzicht dat:
• bij het tellen van een aantal voorwerpen het opzeggen van de telrij gelijkloopt met
het aanwijzen (kerninzicht synchroon tellen)
• het laatste getal bij tellen van een aantal objecten de hoeveelheid aanduidt
(kerninzicht resultatief tellen)
• je hoeveelheden kunt representeren met behulp van materialen, schema’s en
cijfersymbolen (kerninzicht representeren)
Kerninzicht synchroon tellen
Als je voorwerpen wilt tellen, moet je elk voorwerp precies één keer aanwijzen. Je
mag geen voorwerpen overslaan of dubbel tellen. Bij elk voorwerp dat je aanwijst,
moet je precies één telwoord noemen en wel steeds het volgende telwoord. Het
precies gelijk aanwijzen en noemen van het volgende telwoord noemen we
synchroon tellen. Het inzicht dat je synchroon moet tellen, is een kerninzicht dat
kinderen moeten ontwikkelen om later een aantal objecten goed te kunnen tellen.
Kerninzicht resultatief tellen
Resultatief tellen is het tellen van een aantal voorwerpen om te weten hoeveel het er
zijn. Daarvoor moeten kinderen synchroon kunnen tellen, maar dat is nog niet
genoeg. Het kind moet ook begrijpen dat het laatste telwoord dat het noemt, de
hoeveelheid aangeeft. ‘Een, twee, drie: samen zijn het er drie.’ Bij het resultatief
tellen zijn twee getalfuncties in het geding:
• Hoeveelheidsgetallen: het gaat om de hoeveelheid of kardinale functie.
• Telgetallen: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen waarmee je
telt. Ook: bladzijde 5, huisnummer 37.
Getallen kunnen nog drie andere functies hebben:
• Meetgetallen zijn resultaten van een meting: 7 meter, 3 kilogram, 2 jaar.
• Naamgetallen zijn getallen die als het ware een naam aangeven, zoals bij ‘bus 15’.
• Rekengetallen zijn (abstracte) getallen om mee te rekenen, zoals in: 5 + 3 = 8.
Kerninzicht representeren van getallen
Een getal is een abstractie. Volwassenen zijn gewend om een getal aan te geven
met een cijfersymbool. Kinderen moeten dat nog leren. Voordat zij vertrouwd zijn met
de cijfers, kunnen ze getallen ook op andere manieren representeren of uitbeelden.
Bij vier kunnen kinderen denken aan: de vier stippen op de dobbelsteen, vier poppen
of vier fiches op een rijtje of het cijfer vier op bijvoorbeeld de kalender. Als
leerkrachten in de onderbouw kinderen uitdagen om zelf representaties te bedenken
en daarmee hoeveelheden en getallen weer te geven, dan leren kinderen
verschillende mogelijkheden kennen. Uiteindelijk zullen kinderen, omdat ze meerdere
mogelijkheden leren kennen om getallen te representeren, de cijfersymbolen
accepteren als gezamenlijke afspraak voor het representeren van getallen.
,Leerlijn tellen en getallen
Leren tellen begint niet op school. Jonge kinderen kunnen voordat ze naar groep 1
gaan al tellen en hoeveelheden herkennen. Vanaf ongeveer 2 jaar kunnen kinderen
de hoeveelheid twee en drie, soms ook vier en vijf benoemen op basis van
herkenning.
Structuur speelt hierbij een grote rol. Een peuter die zegt dat ze drie auto’s voor haar
verjaardag heeft gekregen, zal de auto’s misschien nog niet kunnen tellen, maar ziet
in één oogopslag dat het drie autootjes zijn. Een bekend voorbeeld van
hoeveelheden herkennen is het herkennen van hoeveelheden in een
dobbelsteenstructuur.
Akoestisch tellen
De meeste kinderen kennen al een aantal telwoorden als ze in groep 1 beginnen. Op
school wordt de telrij verder geoefend. Het ritmisch opzeggen van de telrij, zonder
besef van wat de telwoorden betekenen, noemen we akoestisch tellen. Regelmatig
herhalen is belangrijk. Er zijn veel eenvoudige telspelletjes, rijmpjes en liedjes om de
telwoorden te leren.
Synchroon tellen
Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en tegelijkertijd in hetzelfde
tempo objecten aanwijzen, heet synchroon tellen. Synchroon tellen is pas
betekenisvol voor kinderen als zij de noodzaak zien om de getallen goed op rij op te
zeggen en om daarbij en tegelijkertijd ook nog de voorwerpen aan te wijzen. Dat is
bijvoorbeeld het geval bij het racebaanspel of bij het tellen van hoeveelheden. De
vaardigheid van het synchroon tellen krijgen kinderen door veel voor- en nadoen.
Daarom is het goed als kinderen vaak moeten tellen en telspelletjes doen. Natuurlijke
getallen, zijn getallen als 1,2 en 3.
Van synchroon tellen naar resultatief tellen
Het vaardig synchroon tellen vormt de opstap naar het resultatief tellen. De
leerkracht stimuleert de kinderen op zoek te gaan naar hoeveel er van iets zijn. Het is
goed om situaties te nemen, waarin de hoeveelheid betekenisvol is voor kinderen.
Een goede context helpt kinderen het kerninzicht te ontwikkelen, dat het laatste
telgetal de hoeveelheid aangeeft. Het tellen van een klein aantal voorwerpen in een
rijtje is relatief makkelijk. Moeilijker zijn telopdrachten waarbij de te tellen voorwerpen
niet geordend zijn.
Verkort tellen
Wie wil weten hoeveel objecten er zijn, hoeft die niet altijd één voor één te tellen.
Kinderen, die twee aan twee in de rij lopen, tel je als volgt: 2, 4, 6, 8, 10. Als je het
fruit in een fruitschaal wilt tellen, en je ziet in een oogopslag drie grote groene appels
liggen, begin je bij 3 en tel je het andere fruit erbij: 4, 5, 6. Ook bij een worp met twee
dobbelstenen begin je te tellen bij een van de worpen die je herkent, bijvoorbeeld de
5, en tel je de ogen van de tweede dobbelsteen daarbij: 6, 7, 8. Het tellen op deze
manier, waarbij niet alle voorwerpen meer één voor één geteld worden, heet verkort
tellen. Tellen met twee tegelijk wordt ook wel tellen met sprongen genoemd, in dit
geval dus met sprongen van twee. Je kunt ook tellen met sprongen van vijf of van
tien. Het tellen met sprongen is een vorm van verkort tellen en is een voorbereiding
op het leren vermenigvuldigen.
,Getalbeelden
Getalbeelden zijn mentale voorstellingen, plaatjes, van getallen. Als plaatje bij het
getal vijf kunnen kinderen in hun hoofd hebben: het dobbelsteenpatroon, een hele
hand met vijf vingers, een rijtje van vijf eieren in een eierdoos van tien stuks of de vijf
rode kralen op de bovenste stang van het rekenrek. Getalbeelden helpen het één
voor één tellen los te laten en daadwerkelijk te gaan optellen.
Artikelen leren!
Hoofdstuk 2: Tientallig stelsel
Het getalsysteem dat wij gebruiken is een decimaal positioneel getalsysteem.
Kinderen moeten het inzicht verwerven dat:
• het efficiënt is om aantallen te bundelen in bundels van tien, honderd, duizend
enzovoort (kerninzicht tientallige bundeling)
• de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat
(kerninzicht plaatswaarde of positiewaarde)
Kerninzicht bundeling
Bij het tellen van grotere hoeveelheden is het handig om te bundelen, om groepjes te
maken. Het bundelen in groepjes van tien (of honderd bij grote hoeveelheden) is het
handigst, omdat dit precies aansluit bij ons tientallige getalsysteem. Veel kinderen
ontdekken spontaan dat het handig is om gelijke groepjes te maken, als je ze de
opdracht geeft een grote hoeveelheid te tellen. Toch is de overstap van het tellen van
eenheden naar het tellen van groepjes van tien een moeilijke stap voor sommige
leerlingen.
De opbouw van onze getallen is tientallig, dat wil zeggen dat we grotere
hoeveelheden bundelen in tientallen, honderdtallen, duizendtallen enzovoort. Als we
10 ‘lossen’ of eenheden geteld hebben, maken we daar als het ware één bundel van
en noteren dat als 1 tiental, en tellen we verder met eenheden tot we 2 tientallen
hebben enzovoort. Na 10 tientallen noteren we dat als 1 honderdtal en zo gaat het
bundelen alsmaar door. Het bundelen van tien leidt tot een tientallig of decimaal
talstelsel.
Kerninzicht positiewaarde
Bij het schrijven van getallen moet je weten dat de plaats waarop een cijfer staat
bepalend is voor de waarde die het heeft. Als je 1001 opschrijft, dan is het
cijfersymbool 1 aan de rechterkant precies één waard, maar hetzelfde symbool links
is een duizendtal waard, doordat zijn positie anders is. De plaats waar een cijfer staat
bepaalt wat dat cijfer waard is; we noemen dat plaatswaarde of positiewaarde.
Omdat de positie waarop het cijfer staat bepalend is voor de waarde die het heeft,
noemen we dit een ‘positioneel getalsysteem’.
Ons getalsysteem heet een decimaal positioneel getalsysteem. Er zijn ook andere
mogelijkheden. De Babyloniërs gebruikten een zestigtallig talstelsel; computers
rekenen tweetallig. De Romeinse getallen zijn niet positioneel: de X betekent altijd
tien en de C betekent altijd honderd
Leerlijn tientallig stelsel
Bij het vertrouwd raken met ons decimaal positioneel getalsysteem, start je met het
principe van de bundeling. Als het gaat om getallen tot 100 (meestal groep 4) komt
daarnaast aandacht voor plaatswaarde aan de orde.
,Systematiek in de telrij
Bij het leren van de telwoorden tot 20 in groep 1 en 2, en tot 100 in groep 3 en 4
ontdekken kinderen dat daarin een systematiek zit: na elk volgend tiental komt de
korte telrij van 1 tot en met 9 terug en de grote telrij 10, 20, 30, 40 is net zo
opgebouwd als de korte telrij.
Tientallige bundeling
Bundeling is efficiënt bij grotere hoeveelheden. In de groepen 1, 2 en 3 kunnen
kinderen al kennismaken met het nut van bundelen of groeperen bij het tellen met vijf
tegelijk en bij het zogenaamde turven. Als er gewerkt wordt met hoeveelheden groter
dan 20, dat is meestal in groep 4, wordt het zinvol om te bundelen in groepjes van
tien.
Contexten en modellen zijn belangrijke didactische hulpmiddelen om kinderen het
inzicht in het nut van de bundeling in tientallen te laten ontdekken. De bundeling van
tien kun je mooi laten zien met een kralenketting met 100 kralen, die 10 om 10
gekleurd zijn. De kralenketting kan na enige tijd geschematiseerd worden tot een
getallenlijn op het bord. De kralenketting en de getallenlijn zijn lijnmodellen. Een
ander soort model dat de tienstructuur goed laat zien, is een groepjesmodel.
Voorbeelden zijn staafjes van tien, eierdozen en geld.
In hogere groepen komt ook de bundeling in honderdtallen, duizendtallen en zo
verder er nog bij. Steeds komt de bundeling in tien keer zo grote hoeveelheden
terug.
Plaatswaarde
Samen met de bundeling van tien, komt bij de verkenning van de getallen tot 100 in
groep 4 het inzicht in de plaatswaarde aan de orde. In het getal 45 is de 4 veertig
waard omdat hij links van de 5 staat, die gewoon vijf (eenheden) waard is. Kinderen
leren de termen ‘eenheden’ of ‘lossen’ en ‘tientallen’. In groep 5 komen daar de
‘honderdtallen’ en ‘duizendtallen’ bij. Een positieschema laat schematisch zien op
welke positie de honderdtallen in een getal staan. Het is gebruikelijk om deze te
noteren in hoofdletters, in de volgorde waarin ze in getallen staan, dus H T E of D H
T E. In de bovenbouw breidt het getallengebied zich nog veel verder uit, naar het
tellen en rekenen met tienduizenden (groep 6), honderdduizenden (groep 7) en
miljoenen (groep 8). Belangrijk blijft dat kinderen inzien dat iedere positie die erbij
komt, weer een waarde heeft die tien keer zo groot is als de vorige. Dat betekent dat
een miljoen 10 × 10 × 10 × zo groot is als een duizendtal en een miljard weer 10 × 10
× 10 zo groot.
Uitbreiding van het inzicht
Van het inzicht in het decimaal positioneel talstelsel wordt, als het goed is, volop
gebruikgemaakt bij het rekenen. Voorbeelden daarvan zijn het rekenen naar
analogie, het splitsend optellen en aftrekken en het oplossen van een opgave als 20
× 743 door 2 × 743 te doen en dan een nul erachter te zetten.
Het inzicht in het decimaal positioneel getalsysteem komt kinderen later goed van
pas bij het leren rekenen met kommagetallen.
, Hoofdstuk 3: Bewerkingen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn de vier bewerkingen die kinderen
op de basisschool leren. Bij bewerkingen moeten kinderen het inzicht verwerven dat:
• er sprake is van optellen in situaties waarbij hoeveelheden worden samengevoegd
of waar sprongen vooruit worden gemaakt (kerninzicht optellen)
• er sprake is van aftrekken in situaties waar het gaat om verschil bepalen, eraf halen
of aanvullen van aantallen (kerninzicht aftrekken);
• de bewerkingen optellen en aftrekken elkaars inverse zijn (kerninzicht inverse
optellen aftrekken)
• er sprake is van vermenigvuldigen in situaties waarbij het gaat om herhaald optellen
van dezelfde hoeveelheid, het maken van gelijke sprongen of van een
rechthoekstructuur (kerninzicht vermenigvuldigen)
• er sprake is van delen in situaties die betrekking hebben op herhaald aftrekken van
eenzelfde hoeveelheid of het één voor één verdelen van een hoeveelheid
(kerninzicht delen)
• de bewerkingen vermenigvuldigen en delen elkaars inverse zijn (kerninzicht inverse
vermenigvuldigen delen)
Kerninzichten optellen en aftrekken
In groep 3 leren kinderen bij welke situaties een optelsom of een aftreksom hoort en
hoe je die noteert met de symbolen +, – en =. Het is belangrijk dat kinderen
doorkrijgen dat een opgave op formeel niveau als 5 + 4 = 9 hoort bij een heleboel
situaties. De formele optelsom is de wiskundige ‘vertaling’ van al die situaties. Die
activiteit van vertalen wordt wel horizontaal mathematiseren genoemd.
Optellen is het samenvoegen van hoeveelheden of tellen in sprongen. Optelsituaties
komen veel voor in het dagelijks leven en zijn voor kinderen niet moeilijk te
herkennen. Aftreksituaties zijn complexer, want er zijn drie verschillende typen te
onderscheiden:
• verschil bepalen
• wegnemen, eraf halen
• aanvullen van een bepaalde hoeveelheid tot een andere hoeveelheid
Aftrekopgaven kunnen op verschillende manieren worden opgelost: door eraf halen,
soms door aanvullen of doortellen, soms door de opgave te veranderen in een
opgave waarbij het verschil gelijk blijft.
Kinderen hebben pas goed inzicht in optellen en aftrekken als ze in een bepaalde
situatie de optelling of aftrekking herkennen én als ze bij een optel- of aftreksom een
situatie kunnen bedenken. Bovendien moeten ze begrijpen dat aftrekken en optellen
elkaars omgekeerde zijn: de bewerking aftrekken is de inverse van de bewerking
optellen en de bewerking optellen is de inverse van de bewerking aftrekken.
Kerninzichten vermenigvuldigen en delen
Nadat kinderen in groep 3 een basaal inzicht gekregen hebben in de bewerkingen
optellen en aftrekken, maken ze in groep 4 kennis met de bewerking
vermenigvuldigen en daarna met de bewerking delen.
Vermenigvuldigen is herhaald optellen. Kinderen moeten in een situatie een
vermenigvuldiging kunnen herkennen én zelf bij een vermenigvuldigsom een
passende situatie kunnen noemen.
,Het herhaald samenvoegen van dezelfde hoeveelheid kan op drie verschillende
manieren gestructureerd zijn: als groepsstructuur, als lijnstructuur en als
rechthoekstructuur.
Delen is een bewerking die in het dagelijks leven van kinderen vaak voorkomt. Toch
zijn deelopgaven in groep 5 en hoger niet gemakkelijk. Delen kan er in verschillende
situaties voor kinderen heel anders uitzien. Deelsituaties zijn in te delen in drie typen:
1 herhaald aftrekken of opdelen
2 verdelen of ‘eerlijk verdelen’
3 omgekeerd vermenigvuldigen of ‘opvermenigvuldigen’
Vermenigvuldigen en delen zijn elkaars omgekeerde, ofwel: de bewerking delen is de
inverse van de bewerking vermenigvuldigen en andersom.
Leerlijn bewerkingen
Eerst leren kinderen de bewerkingen optellen en aftrekken, daarna vermenigvuldigen
en delen. In beide gevallen wordt gewerkt van tellend rekenen via structurerend
rekenen naar formeel rekenen.
Oriëntatie op optellen en aftrekken
De basis voor optellen en aftrekken ligt in vaardig voor- en achteruit kunnen tellen,
dat in groep 1 en 2 geoefend wordt. Met oudste kleuters kunnen ook al situaties
verkend worden van 1 of 2 meer, 1 of 2 erbij, 1 of 2 eraf op concreet niveau.
Tellend rekenen bij optellen en aftrekken
In groep 3 krijgen kinderen veel optel- en aftreksituaties voorgelegd. Ze leren welke
sommen hierbij horen in de gangbare wiskundetaal met de bewerkingstekens +, – en
=. Veel methodes bieden de context van de bus aan, waarin passagiers in- en
uitstappen. Aanvankelijk lossen kinderen optel- en aftrekopgaven op door middel van
tellen: tellend rekenen.
Structurerend rekenen bij optellen en aftrekken
Het is de bedoeling dat kinderen optel- en aftrekopgaven leren oplossen zonder te
tellen en zonder dat ze er vingers of materiaal bij nodig hebben. Dat kunnen kinderen
leren door gebruik te maken van structuren. Denkmodellen kunnen kinderen helpen
structuren te ontdekken en te benutten. Voor het optellen en aftrekken tot 20 wordt
het rekenrek veel gebruikt. In groep 4 is de getallenlijn een bruikbaar model bij het
optellen en aftrekken tot 100.
Formeel rekenen bij optellen en aftrekken
Als kinderen geen model meer nodig hebben, rekenen ze op formeel niveau. De
optel- en aftreksommen tot 20 moeten kinderen uit het hoofd kennen. Optellen en
aftrekken tot 100 moeten ze vlot kunnen door middel van splitsen, rijgen of handig
rekenen.
Tellend vermenigvuldigen
Het herhaald optellen op formeel niveau, het hoogste niveau van rekenen bij het
optellen, is het eerste niveau bij het vermenigvuldigen. Door heel veel
vermenigvuldigsituaties te verkennen, overziet het kind steeds gemakkelijker dat er
meer groepjes, sprongen of rijtjes van gelijke grootte zijn. Hier ligt de basis voor het
,kerninzicht vermenigvuldigen: bij vermenigvuldigen gaat om herhaald optellen van
eenzelfde hoeveelheid, het maken van gelijke sprongen of van een
rechthoekstructuur. Kinderen leren de bijbehorende wiskundetaal ‘keer’ en het
symbool ×.
Structurerend vermenigvuldigen
Op het niveau van structurerend rekenen bij vermenigvuldigen gaan kinderen steeds
meer gebruikmaken van de structuur. Daarvoor zijn contexten of modellen nodig met
een duidelijke structuur en keersommen die als ankerpunt voor de tussenstap
kunnen dienen. Vermenigvuldigstrategieën zijn bijvoorbeeld: verdubbelen, halveren,
1× meer, 1× minder, omkeren en verdelen. Deze strategieën kunnen verduidelijkt
worden met een getallenlijn, een groepjesmodel of een rechthoekmodel. De
strategieën berusten op de commutatieve eigenschap en de distributieve of
verdeeleigenschap van het vermenigvuldigen.
Formeel vermenigvuldigen
Op het formele niveau worden vermenigvuldigsommen opgelost. De strategieën
worden steeds vlotter toegepast. Door dit ‘automatiseren’ zullen kinderen steeds
meer opgaven uit het hoofd kennen. Enkele lastige sommen zullen apart geoefend
moeten worden. Dat noemen we memoriseren. Als het memoriseren of inprenten
gebeurt op basis van een netwerk aan ankerpunten, liggen automatiseren en
memoriseren dicht bij elkaar. Aan het einde van groep 5 moeten kinderen de tafels
tot en met 10 gememoriseerd hebben, dat wil zeggen dat zij ze uit het hoofd kennen.
Artikelen leren!
Hoofdstuk 4: Hoofdrekenen en cijferen
In de bovenbouw zijn er vier manieren om opgaven met grotere getallen uit te
rekenen: hoofdrekenen, schattend rekenen, kolomsgewijs of cijferend rekenen en het
rekenen met een rekenmachine. Kinderen verwerven het inzicht dat:
• je berekeningen in bepaalde gevallen efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken
van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen (kerninzicht handig rekenen);
• je een globale uitkomst kunt bepalen door te werken met afgeronde getallen
(kerninzicht schattend rekenen);
• je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale,
schematische verkorting van rekenaanpakken (kerninzicht standaardprocedures).
Aan het gebruiken van een rekenmachine is geen specifiek kerninzicht verbonden.
Wel hebben kinderen veel andere kerninzichten nodig om goed met een
,rekenmachine te kunnen werken, zoals de kerninzichten in de bewerkingen.
Bovendien moeten kinderen leren werken met de rekenmachine en leren kiezen
wanneer het handig is om de rekenmachine te gebruiken, of wanneer je beter uit je
hoofd, schattend of cijferend kunt rekenen.
Kerninzicht handig rekenen
Als je handig rekent, maak je gebruik van getalrelaties en eigenschappen van
bewerkingen. Belangrijke eigenschappen zijn: de commutatieve eigenschap (geldt
voor optellen en vermenigvuldigen), de associatieve eigenschap (geldt voor optellen
en vermenigvuldigen), en de distributieve eigenschap (geldt voor vermenigvuldigen
en delen).
Leerlijn hoofdrekenen
Het rekenen tot honderd in de onderbouw legt de basis voor het hoofdrekenen in de
bovenbouw. Naast het hoofdrekenen is er in de bovenbouw aandacht voor schattend
rekenen en schriftelijk rekenen.
Rijgen, splitsen en handig rekenen in groep 3 en 4:
In groep 3 en 4 leren kinderen manieren voor het rekenen tot honderd, met name
rijgen en splitsen. Dat zijn standaard manieren voor het rekenen tot 100, waarvan het
wenselijk is dat kinderen ze vlot uit het hoofd kunnen uitrekenen. Daarnaast doet het
handig rekenen zijn intrede, onder meer bij het automatiseren van de tafels van
vermenigvuldiging. Kinderen kunnen sommen die zij al kennen gebruiken als
ankerpunt om andere tafelsommen te memoriseren. Hoofdrekenen in de bovenbouw
Vanaf groep 5 wordt gerekend tot 1000 en hoger. Hoe groter de getallen, hoe lastiger
het wordt om alle deeluitkomsten uit het hoofd te onthouden. Daarom leren kinderen
in de bovenbouw schriftelijk rekenen, waarbij gewerkt wordt met vaste
oplossingsprocedures op papier (zie kolomsgewijs rekenen en cijferen). Maar de
standaardmanieren op papier zijn niet altijd efficiënt. Er zijn ‘mooie sommen’, waar je
handig gebruik kunt maken van de getallen of eigenschappen van de bewerkingen.
Daarom wordt naast het schriftelijk rekenen ook geoefend met handig rekenen of
hoofdrekenen. Daarbij mogen kinderen best iets op papier zetten, als dat helpt.
Rekenen met nullen
Om handig te kunnen vermenigvuldigen en delen met grotere getallen, is het goed te
oefenen met ‘rekenen met nullen’.
Kiezen voor hoofdrekenen
Het is niet de bedoeling dat kinderen alleen maar hoofdrekenen als ze daartoe
expliciet opdracht krijgen; kinderen zouden bij alle rekenopgaven die ze op school of
in het dagelijks leven tegenkomen, bewust moeten kiezen hoe ze de som
aanpakken: hoofdrekenend, cijferend of met de rekenmachine. Soms is
hoofdrekenen de efficiëntste manier, maar soms is de opgave daarvoor te complex.
Dan hangt het ervan af of je papier ter beschikking hebt of een rekenmachine. In
methodes voor de bovenbouw staan regelmatig opgaven waarbij kinderen moeten
kiezen of ze (een deel van) de opgaven hoofdrekenend, cijferend of met de
rekenmachine oplossen.
,Kerninzicht schattend rekenen
In de bovenbouw leren kinderen schattend rekenen. Schattend rekenen is rekenen
met afgeronde getallen. Er zijn situaties dat je niet anders kunt dan schattend
rekenen, bijvoorbeeld als je niet genoeg gegevens bij de hand hebt om precies te
rekenen. Er zijn ook situaties waarin je wel precies kunt rekenen, maar waarin je net
zo goed of beter kunt schatten. Schatten wordt op school vaak nog op een andere
manier gebruikt, namelijk als controle op een cijfersom of een berekening met de
rekenmachine. Het gaat dan vooral om de orde van grootte van het antwoord: kan dit
kloppen? Dit schattend controleren is zowel zinvol voor het oefenen met schattend
rekenen, als zinvol voor het ontwikkelen van een kritische wiskundige attitude.
Bij het schattend rekenen speelt het inzicht dat nodig is bij handig rekenen volop
mee: welke getalrelaties kun je benutten en welke eigenschappen van bewerkingen?
Daar bovenop komt dus het inzicht wanneer je kunt of moet schatten. Dat vraagt een
goed begrip van de situatie of opgave, gevoel voor de orde van grootte van getallen
en een portie lef. Hoe ver mag je afronden? Moet je dat nog compenseren en hoe
dan? Is dit precies genoeg? Wie goed kan schatten kan veel opgaven oplossen
zonder al te veel problemen en laat heel duidelijk zien dat hij ‘gecijferd’ is.
Gecijferdheid is het vermogen om op passende wijze met getallen en getalsmatige
gegevens om te gaan.
Leerlijn schattend rekenen
In de onderbouw kunnen kinderen al ervaring opdoen met het schatten van
hoeveelheden. Ze wennen er dan vast aan dat je sommige getallen niet precies weet
of zelfs niet precies kunt weten. In de bovenbouw komt het schattend rekenen aan
de orde. Hierbij komen vier onderdelen aan bod, die in elke volgende groep
terugkomen, met steeds minder gemakkelijke getallen en steeds complexere
situaties:
• afronden van getallen
• schattend optellen en aftrekken
• schattend vermenigvuldigen
• schattend rekenen met onvolledige gegevens.
Kerninzicht standaardprocedures
In de tijd dat er nog geen rekenmachines waren, zijn rekenprocedures bedacht die
altijd tot het goede antwoord leiden, als je maar precies genoeg de voorschriften
opvolgt. Bekend zijn het op papier onder elkaar optellen, aftrekken, vermenigvuldigen
en staartdelen. Deze standaardprocedures noemen we cijferen, omdat er gerekend
wordt met losse cijfers en niet met hele getallen. Omdat we tegenwoordig het
precieze rekenwerk overlaten aan rekenmachines, kassa’s en computers, kan je
ervoor kiezen om in het onderwijs minder tijd te besteden aan het leren cijferen.
Kinderen leren nog wel schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen,
maar met minder grote getallen. Ook is er een nieuwe procedure ontwikkeld:
kolomsgewijs rekenen. Het kolomsgewijs rekenen is, net als cijferen, een
standaardprocedure voor schriftelijk rekenen, maar sluit beter aan bij het
hoofdrekenen, omdat niet met losse cijfers gewerkt wordt maar met de hele waarde
van de getallen. Op basis van het inzicht in hoofdrekenmanieren als splitsen, kunnen
kinderen het kolomsgewijs rekenen (bijna) zelf ontdekken. De kolomsgewijze aanpak
leidt via verkortingen tot het hoogste formele niveau, vergelijkbaar met de eindfase
bij het traditionele cijferen. Zo ontwikkelen leerlingen inzicht in de procedures van het
cijferen op hun eigen niveau.
, Leerlijn kolomsgewijs rekenen en cijferen
Het gaat in essentie om de volgende leerlijn: van hoofdrekenen via kolomsgewijs
rekenen naar cijferen. Van deze verschillende stadia van aftrekken en
vermenigvuldigen zijn praktijkvoorbeelden opgenomen.
Achterin het hoofdstuk wordt de leerlijn kort geschetst voor kolomsgewijs en cijferend
optellen en delen.
Delen
Voor kinderen op de basisschool komen, doen ze al ervaringen op met verdelen en
eerlijk delen. Om met de leerlijn delen van start te gaan, is kennis van
vermenigvuldigen op structurerend niveau een wenselijke beginsituatie. Daarom zien
we meestal pas in groep 5 aandacht voor het delen in de reken-wiskundemethodes.
Net als bij het vermenigvuldigen, begint het delen met het verkennen van allerlei
situaties waarin gedeeld moet worden. Deelstrategieën zijn: herhaald aftrekken,
halveren, de distributieve eigenschap en het gebruiken van de bijbehorende
vermenigvuldiging. Delen gebeurt al gauw op het formele niveau. Dat kan ook op
basis van het inzicht in vermenigvuldigen en het inzicht in de relatie tussen delen en
vermenigvuldigen.
Rekenen en wiskunde in de onderbouw
Hoofdstuk 5: Met geld betalen in de winkel
Juf Monique heeft samen met de kinderen een groentewinkel ingericht in de klas. In
het spel komen verschillende onderwerpen aan de orde: tellen, verkort tellen en het
symboliseren van kleine hoeveelheden.
5.1 Een bonnetje uit de winkel
Een van de kinderen heeft bij het spelen in de groentewinkel een bonnetje
geschreven. Juf Monique gebruikt dat als uitgangspunt voor een kringgesprek over
boodschappen doen. Bij het praten over bonnetjes en prijskaartjes komt het gesprek
op cijfers en letters. Veel kleuters halen die nog door elkaar. Bonnetjes en
prijskaartjes vormen een betekenisvolle context voor kleuters om cijfersymbolen te
leren begrijpen als representaties van hoeveelheden.
5.2 Alle cijfers op een rij
In groep 1 en 2 is het belangrijk dat de kinderen in aanraking komen met de
cijfersymbolen. De cijferstempels zijn handig, want het zelf schrijven van de cijfers is
voor kleuters nog erg moeilijk, gezien hun motorische ontwikkeling. Juf Monique
presenteert en bespreekt de cijferstempels in de kring. Ze observeert welke kinderen
de cijfersymbolen welen niet kennen.
5.3 Geld om mee te tellen en te rekenen
Natuurlijk moet er in de winkel betaald worden. Juf Monique spreekt met de kinderen
af dat de producten in de winkel 1, 2 of 3 euro mogen kosten en laat de kinderen zelf
munten van 1 en 2 euro maken. Daar kan op allerlei niveaus mee geteld en
