100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na je betaling Lees online óf als PDF Geen vaste maandelijkse kosten
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Samenvatting Lineaire Algebra - Hfst 12 Symmetrische matrices €2,99
In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Universiteit Gent (UGent)
  4.  
  5. Bio Ingenieurswetenschappen
  6.  
  7. Lineaire algebra (I002909A)

Samenvatting

Samenvatting Lineaire Algebra - Hfst 12 Symmetrische matrices
 0 keer verkocht
  • Vak
  • Lineaire algebra (I002909A)
  • Instelling
  • Universiteit Gent (UGent)

Hfst 12: Symmetrische matrices gegeven door prof Willem Waegeman Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + !!stappenplannen voor verschillende soorten oefeningen uit te werken!!

Laatste update van het document: 7 maanden geleden

Voorbeeld 1 van de 3  pagina's

Document informatie

  • 17 mei 2024
  • 10 juli 2024
  • 3
  • 2023/2024
  • Samenvatting

Onderwerpen

  • symmetrische matrices
  • orthogonale matrices
  • kwadratische vormen
  • orthonormaal
  • eigenwaarden
  • orthonormale basis
  • diagonalisatie
  • singuliere waardeontbinding

Geschreven voor

  • Universiteit Gent (UGent)
  • Bio Ingenieurswetenschappen
  • Lineaire algebra (I002909A)
Alle documenten voor dit vak (13)

Verkoper

avatar-seller
GregTheBioEngineer

Ontvangen beoordelingen

Voorbeeld van de inhoud

Hoofdstuk 12
Symmetrische matrices


Orthogonale matrices
Eigenschappen voor een orthogonale matrix U geldt

▪ Orthonormale verzameling kolomvectoren (ook orthogonaal dus, staan loodrecht op elkaar en hebben
norm 1) + de kolomvectoren zijn ook lineair onafhankelijk
▪ UT = U-1
▪ ||U𝑥⃗|| = ||𝑥⃗|| bij een lineaire transformatie met een orthogonale matrix U op een vector
zal de norm van de vector waarvan je vertrekt hetzelfde blijven
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 𝑥⃗ 𝑦⃗
. .
het scalair product zal niet veranderen als je op beide een lineaire transformatie
doet met een orthogonale matrix
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 0
. ⃗⃗  𝑥⃗ . 𝑦⃗ = ⃗0⃗, dus voor de lineaire transformatie moet het product ook ⃗0⃗ zijn



Symmetrische matrices
Voor een symmetrische, reële matrix geldt:

▪ A is een vierkante matrix
▪ A = AT
▪ A heeft reële eigenwaarden
▪ Eigenvectoren die bij verschillende eigenwaarden vormen een orthogonale verzameling (dus ook
lineair onafhankelijk) (nog sterker dan lineair onafhankelijk, wat ook geldt bij eigenvetoren van
verschillende eigenwaarden)
▪ αA(λ) = γA(λ) voor een eigenwaarde, ook sterker dan algemeen αA(λ) ≥ γA(λ) (nodig om diagonaliseerbaar
te zijn)
▪ A is orthogonaal diagonaliseerbaar → A = PDP-1 = PDPT met P = orthogonale matrix = orthogonale
diagonalisatie, hoeft niet meer inverse te berekenen (ortoghonale matrix → orthonormale vect)


Schrijf A als PDPT:

 Bereken de eigenwaarden en de bijhorende eigenvectoren
 Een symmetrische matrix heeft al de eigenschap dat de eigenvectoren onderling orthogonaal zijn dus
hoeft dit eigenlijk niet te checken
 Wel de vectoren nog normaliseren (delen door norm) want moet orthogonale matrix P hebben =
orthonormale vectoren, de vectoren zijn onderling wel al orthogonaal
 Samen zetten in P en corresponderende D opstellen
 Bereken dan PT ipv de inverse
 !!! indien je twee keer een eigenwaarde hebt zal je ook 2 eigenvectoren hebben zodat αA(λ) = γA(λ) voor
elke eigenwaarde want moet voor een symmetrische matrix

Analyse van kwadratische vormen
Kwadratische vorm = Q(𝒙
⃗⃗) = 𝒙
⃗⃗TA 𝒙
⃗⃗ met A een symmetrische matrix, vb:

=


Dan moet A opgesteld worden, de rijen worden van x1 tot x3 genummerd in dit geval, evenals de kolommen, zo
komt op a11 x1² te staan en op a12 en a21 x1x2, zo bekom je dus de symmetrische matrix
Stel 𝑥⃗ = [x1, x2, x3]

 Kan dus een kwadratische vorm als een matrix schrijven (A)
 !!! als je bv -4x1x2 hebt herschrijven als -2x1x2 -2x1x2 zodat je op a12 en a21 -2 kan schrijven

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper GregTheBioEngineer. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 68175 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis
€2,99
  • (0)
In winkelwagen
Toegevoegd