Hfst 12: Symmetrische matrices gegeven door prof Willem Waegeman Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + !!stappenplannen voor verschillende soorten oefeningen uit te werken!!
[Meer zien]
Laatste update van het document: 4 maanden geleden
Orthogonale matrices
Eigenschappen voor een orthogonale matrix U geldt
▪ Orthonormale verzameling kolomvectoren (ook orthogonaal dus, staan loodrecht op elkaar en hebben
norm 1) + de kolomvectoren zijn ook lineair onafhankelijk
▪ UT = U-1
▪ ||U𝑥⃗|| = ||𝑥⃗|| bij een lineaire transformatie met een orthogonale matrix U op een vector
zal de norm van de vector waarvan je vertrekt hetzelfde blijven
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 𝑥⃗ 𝑦⃗
. .
het scalair product zal niet veranderen als je op beide een lineaire transformatie
doet met een orthogonale matrix
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 0
. ⃗⃗ 𝑥⃗ . 𝑦⃗ = ⃗0⃗, dus voor de lineaire transformatie moet het product ook ⃗0⃗ zijn
Symmetrische matrices
Voor een symmetrische, reële matrix geldt:
▪ A is een vierkante matrix
▪ A = AT
▪ A heeft reële eigenwaarden
▪ Eigenvectoren die bij verschillende eigenwaarden vormen een orthogonale verzameling (dus ook
lineair onafhankelijk) (nog sterker dan lineair onafhankelijk, wat ook geldt bij eigenvetoren van
verschillende eigenwaarden)
▪ αA(λ) = γA(λ) voor een eigenwaarde, ook sterker dan algemeen αA(λ) ≥ γA(λ) (nodig om diagonaliseerbaar
te zijn)
▪ A is orthogonaal diagonaliseerbaar → A = PDP-1 = PDPT met P = orthogonale matrix = orthogonale
diagonalisatie, hoeft niet meer inverse te berekenen (ortoghonale matrix → orthonormale vect)
Schrijf A als PDPT:
Bereken de eigenwaarden en de bijhorende eigenvectoren
Een symmetrische matrix heeft al de eigenschap dat de eigenvectoren onderling orthogonaal zijn dus
hoeft dit eigenlijk niet te checken
Wel de vectoren nog normaliseren (delen door norm) want moet orthogonale matrix P hebben =
orthonormale vectoren, de vectoren zijn onderling wel al orthogonaal
Samen zetten in P en corresponderende D opstellen
Bereken dan PT ipv de inverse
!!! indien je twee keer een eigenwaarde hebt zal je ook 2 eigenvectoren hebben zodat αA(λ) = γA(λ) voor
elke eigenwaarde want moet voor een symmetrische matrix
Analyse van kwadratische vormen
Kwadratische vorm = Q(𝒙
⃗⃗) = 𝒙
⃗⃗TA 𝒙
⃗⃗ met A een symmetrische matrix, vb:
=
Dan moet A opgesteld worden, de rijen worden van x1 tot x3 genummerd in dit geval, evenals de kolommen, zo
komt op a11 x1² te staan en op a12 en a21 x1x2, zo bekom je dus de symmetrische matrix
Stel 𝑥⃗ = [x1, x2, x3]
Kan dus een kwadratische vorm als een matrix schrijven (A)
!!! als je bv -4x1x2 hebt herschrijven als -2x1x2 -2x1x2 zodat je op a12 en a21 -2 kan schrijven
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper BioIngenieur. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
