Samenvatting Systemen & Signalen

Soorten systemen

Geheugenloos

De waarde van y[n] hangt alleen af van van de huidige waarde x[n]. Een voorbeeld van een
geheugenloos system is;

y[n]  x[n](1  x[n])

Een voorbeeld van een systeem met geheugen is een vertrager;

y[n]  x[n  1]

Of een cumulatieve som:
n
y[n]  
k  inf
x[k ]

Inverteerbaar

Een inverteerbaar systeem is een systeem wat zo gekoppeld kan worden dat de input gelijk
is aan de output. Kwadratische verbanden zijn niet inverteerbaar aangezien bij het
kwadrateren informatie over het teken verloren gaat. Een voorbeeld van een inverteerbaar
systeem:

y(t )  3x(t )

Het inverse systeem hiervoor wordt gegeven door:

1
w(t )  y (t )
3

Stabiel

Een stabiel systeem is een systeem waarvan de output niet naar oneindig divergeert, een
voorbeeld van een instabiel systeem:
n
y[n]  
k  inf
x[k ]

Tijdinvariant

Een tijdinvariant systeem is een systeem waarvoor geldt:

y[n  N ]  x[n  N ]

Ofwel een verschuiving van het inputsignaal leidt tot een gelijke verschuiving in de output.
Een voorbeeld van een tijdinvariant systeem:

y[n]  cos[n]

, Lineair

ax1 (t )  bx2 (t )  ay1 (t )  by2 (t )

Ofwel een lineair systeem bevat additieve en homogene eigenschappen.



Causaal

Een systeem wat niet anticipeert op toekomstige waaden, maar alleen op huidige en eerdere
waarden. Met uitzondering van het tijdinvariante voorbeeld zijn alle bovenstaande systemen
causaal.



Convolutie

Een convolutie is een optelling onder vermenigvuldiging van twee functies waarbij één
functie gespiegeld is in de y-as en t is verschoven.
inf
y[n]  
n  inf
x[k ]h[n  k ]

De convolutie integraal is commutatief bij LTI systemen dus k en n-k mogen omgewisseld
worden in bovenstaande formule.

Handig om te weten:

inf
1  a n 1
 ak 
n 0 1 a

Ofwel een geometrische reeks.

Het is handig om een convolutie in meerdere intervallen op te splitsen, de verkregen functie
is dan stuksgewijs continu.
inf
y (t )  
 inf
x( )h(t   )d


Het bovenstaande is de continue tijd convolutie en heeft dezelfde eigenschappen als de
discrete convolutie.
inf n
y[n]  u[n]* h[n]   u[n  k ]h[k ]  
k  inf k  inf
h[k ]


Het bovenstaande heet een accumulator (integrator in continue tijd) en wordt verkregen door
een signaal met de eenheidsstapfunctie te convolueren.