Week 10 Deel 1
Enkelvoudige regressieanalyse, ERA: t-toets voor de regressiecoëfficiënt β en F-toets voor het
gehele model.
Toets 1, de toets voor regressiecoëfficiënt(en) β, geeft antwoord op de vraag:
Hoe goed kan een onafhankelijke predictor (X) de scores op een afhankelijke variabele (Y)
voorspellen?
Toets 2, de toets voor het gehele model R2, geeft antwoord op de vraag:
Kan de onafhankelijke predictor (X) die je uitgekozen hebt een significant gedeelte van de spreiding in
afhankelijke Y-scores verklaren?
Je gaat kijken naar de variatie in Y-scores, waarom zie ik deze variatie? Het gaat bij deze toets om
proportie/percentage verklaarde spreiding/variantie.
Populatiekenmerken worden altijd weergegeven in Griekse symbolen.
Als je met de steekproef bezig bent is het gewoon b1.
Als je met de populatie bezig bent is het Bèta (β1).
T-toets voor regresiecoëfficiënt β1 (toets 1)toets 1)
Vraagstelling:
Voorspellen auditieve leesvoorwaarden begin groep 3 de leesprestatie aan het eind van groep 3?
Hangt de leesprestatie aan het eind van groep 3 af van de auditieve leesvoorwaarden begin groep 3?
- Eén X (auditieve leesvoorwaarden) en één Y (begrijpend lezen): Enkelvoudige Regressie
Model (ERA).
- Model: 7y(X)= β0+ β1X (populatiemodel). Als je een puntenwolk hebt met een regressielijn,
dan is dit de lijn op populatieniveau die alle punten met elkaar verbindt. Alle gemiddelden van
Y liggen mooi op één lijn. De regressielijn ga je schatten met gegevens uit de steekproef.
- Wanneer?
Bij toetsing van een lineair verband tussen twee variabelen (minimaal interval meetniveau)
waarvan een onafhankelijke variabele X (predictor) en een afhankelijke variabele Y.
Toetsingssituatie, assumpties en hypothesen
- Wie?
Eén populatie: dezelfde leerlingen in groep 3 van het basisonderwijs.
- Wat?
Twee kwantitatieve variabelen. Gevraagd wordt naar een samenhang: voorspellen scores op
auditieve leesvoorwaarden begin groep 3 scores op begrijpend lezen eind groep 3?
- Inspecteer eerst de puntenwolk m.b.v. SPSS-Graphs. Lineaire samenhang tussen beide
variabelen is herkenbaar aan de elliptische vorm van de puntenwolk.
Assumpties (toets 1)hetzelfde als bij correlatie)
1. Lineaire samenhang tussen de beide variabelen.
2. Onderling onafhankelijke paren van scores (X, Y) op minimaal intervalniveau gemeten.
3. De variabelen zijn bivariaat normaal verdeeld (bij elke waarde van X moet sprake zijn van normaal
verdeelde Y-waarden).
4. Voor elke waarde van X zijn de populatievarianties van Y aan elkaar gelijk: homoscedasticiteit.
Puntenwolk
Lineariteit kun je in inspecteren in de puntenwolk. Hier is de regressielijn van de steekproef in
getekend. Als auditieve leesvoorwaarden toeneemt, dan ga je ook hoger scoren op begrijpend lezen.
Het is aardig lineair, linksonder heb je een aantal scores die afwijken van de andere scores. De
meesten scoren redelijk tot hoog. Het is een elliptische vorm, dus het heeft nut om naar regressie te
kijken.
,Andere puntenwolken
Samenhang is het sterkst in D.
Intercept is het grootst in A.
Covariantie is negatief in A, C, D.
Bèta is positief in B.
% verklaarde variantie is het grootst in D (meeste
samenhang, dus meeste kunnen verklaren).
De kleinste residuen vindt men in D.
De spreiding in Y-scores is het kleinst in C.
Beide verdelingen zijn redelijk normaal verdeeld te noemen. Indien er geen normale verdeling is, is dit
een minder groot probleem als n > 30. Hier wordt een grote N gebruikt.
,Hypothesen
- Uit de vraagstelling maak je op dat het hier gaat om een tweezijdige toets:
- H0: β1= 0 De invloed van auditieve synthese is 0.
- H1: β1≠ 0 De invloed van auditieve synthese is niet 0.
β1 is de regressiecoëfficiënt die de lineaire samenhang weergeeft in de populatie tussen auditieve
leesvoorwaarden en leesprestatie.
Andere voorbeelden van hypothesen
H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
β1 is de regressiecoëfficiënt voor de lineaire relatie tussen Leesmilieu-index en Citoscores voor
technisch lezen.
Descriptieve statistieken
N=163 paren van scores: auditieve synthese begin groep 3 en leesprestatie eind groep 3.
Lineaire samenhang = .486, redelijk sterke samenhang tussen auditieve synthese en begrijpend
lezen.
Schatten van β
- Schatter voor β1 (helling, regressiecoëfficiënt) b1=
We gebruiken hier dus de b1 uit de steekproef. De goede lijn heb je te pakken als alle punten
tot de regressielijn zo klein mogelijk zijn. Dan heb je de beste b1.
- Schatter voor het intercept β0 (constante) b0=
- Y’= b0+ b1X Y’= 9.18 + .389X
TL’ = 36.17 + 0.113LMI Je kunt voor Y en X ook de namen van de variabelen gebruiken.
- b1 is de verandering in Y’ als X met één meeteenheid toeneemt.
Stel je hebt score op X van 0, dan voorspellen ze voor mij een 9 op begrijpend lezen.
Stel je hebt een score van 1, dan voorspellen ze voor mij een 9,389 op begrijpend lezen. Er
komt telkens .389 bij, een gestage toename.
b1 is dus de toename in jouw voorspelling (toets 1)Y) als X met 1 toeneemt.
b = 0 = minimum = lezen hangt 0 af van auditieve synthese, je hebt dan een Y van 9. Je krijgt
dan een horizontale lijn Y. NIET een regressielijn van links onder naar rechts boven.
- b0 is de constante: als X = 0 dan is Y’= b0.
, De steekproevenverdeling van b1 (toets 1)de b1 die we hebben is een schatting, we moeten gaan toetsen,
dus hebben een steekproevenverdeling nodig).
- Random steekproef van n=163 kinderen. Je gaat kijken welke b’s er naar voren komen, dit
vormt de steekproevenverdeling met een zekere variatie SE b1.
- Als in de populatie geldt β1= 0 volgen de steekproefschatters b1 van alle mogelijke
steekproeven met gelijke n, na transformatie, een t-verdeling met df =n –k -1 vrijheidsgraden
(waarin k het aantal predictoren is, hier: 1):
- SEb1 hoeven we zelf niet te berekenen!!
- NB: β1(0) is hier de populatieparameter β1 voor het regressiegewicht onder H0.
- SEb1 hangt af van:
Grootte van de steekproef: hoe groter n, hoe kleiner SE b1. Hoe groter de steekproef, hoe
nauwkeuriger de b-waarden worden.
De residuele variantie: hoe kleiner se2 hoe kleiner SEb1. Se2 is de spreiding rond de
regressielijn.
Kleine Se2: Smalle puntenwolk. Iedereen ligt erg dicht bij de lijn. Als de populatie een hele
sterke samenhang heeft, dan vind ik b-waarden die niet veel van elkaar afwijken. Kleine
Se2, betekent grote correlatie (veel samenhang) en dit betekent kleine spreiding in b-
waarden (SEb1). Grote correlatie, Se2 is klein, SEb1 (richting) is ook klein.
Grote Se2: Brede puntenwolk. Veel spreiding rond de regressielijn. Mensen liggen ver van
de voorspelde lijn af. Als ik uit zo’n populatie met een kleine correlatie herhaald
steekproeven trek, dan is er veel meer variatie mogelijk. Kleine correlatie, S e2 is groot,
SEb1 (richting) is ook groot.
Variantie van de onafhankelijke variabele: hoe groter s x2 (spreiding op X) hoe kleiner SEb1
(spreiding in b1).
Steekproevenverdeling t-verdeling met df = 161
- SEb1 is .055.
- De t-verdeling bevat 161 vrijheidsgraden: n – k – 1. K staat voor het aantal X’en, het aantal
predictoren waarvoor je steeds schattingen moet maken voor het gemiddelde van X.
Toetsingsgrootheid t
- T-verdeling met df = n -1-1: df = 163 -2 = 161.
