Samenvatting
Summary Time Series and its Applications
Samenvatting van het vak Time Series and its Applications, gegeven op Tilburg University in de master (semester 2).
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 77 pagina's
Voorbeeld 4 van de 77 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Voorbeeld van de inhoud
Tilburg UniversityMaster Program
Summary TSA
Author: Supervisor:
Rick Smeets Kojevnikov, D
May 30, 2024
,Table of Contents
1 Stochastic Processes 3
1.1 Time Series Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Second-order Properties: Weak Stationarity . . . . . . . . . . 6
1.3 Construction of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Asymptotic Results 11
2.1 Linear Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Estimation of the Mean and the ACVF . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Estimation of µX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Estimation of γX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Estimation of v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 ARMA Models 19
3.1 The Lag Operator, Lag Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 AR and MA Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Causality and Invertibility of ARMA Processes . . . . . . . . . 24
4 Forecasts, the Wold Decomposition 29
4.1 Forecasting Stationary Time Series . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Forecasting From the Infinite Past . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 The Wold Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Estimation of ARMA Models Part I 38
5.1 The ACF and PACF of an ARMA Process . . . . . . . . . . . 38
5.2 The Autocorrelation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 The Partial Autocorrelation Function . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Interpretation of ACF and PACF . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Estimation of ARMA Models Part II 44
6.1 The Yule-Walker Estimator (Method of Moments) . . . . . . . 44
6.2 Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Diagnostic Checking and Order Selection . . . . . . . . . . . . 51
7 Models of Volatility 53
7.1 GARCH Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Estimation of GARCH Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Forecasting Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1
,8 Generalizations of the ARMA model 62
8.1 Integrated Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.1.1 Forecasting Integrated Processes . . . . . . . . . . . . . 64
8.2 Unit Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.1 Unit Root in Autoregressions . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2.2 Unit Root in Moving-Averages . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 Seasonal ARIMA Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3.1 Forecasting Seasonal ARIMA Processes . . . . . . . . . 75
2
, 1 Stochastic Processes
1.1 Time Series Data
In this course we are concerned with data whose observations are recorded
at discrete time intervals. Such a dataset is referred to as a time series.
Formally, we think about a regular time series as a particular realization
of a (discrete-time) stochastic process, i.e., the observation xt at time t is
a realization of a certain random variable Xt . Such modelling allows for
the unpredictable nature of future observations. Let T denote a set of time
points, e.g., T = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} or T = N = {1, 2, 3, . . .}.
Definition 1.1. A stochastic process is a family of random variables {Xt :
t ∈ T } defined on a common probability space (Ω, F, P). Recall that Ω is
the sample space (possible outcomes), F is a collection of events (F ⊂ 2Ω ),
and P is a probability measure. A random variable X defined on this space
is a function X : Ω → R.
When the index set T is obvious, we write {Xt } for short. If {Xt } is a
stochastic process, Xt is a random variable for each t ∈ T . For example,
{Xt : t ∈ N} is an infinite sequence of random variables, and {Xt : t ∈ Z}
is a doubly infinite sequence of random variables. For a particular outcome
ω ∈ Ω, we obtain a realization of the whole process by varying the time index
t.
Definition 1.2. For a given outcome ω ∈ Ω, the function t 7→ Xt (ω) is called
a sample path of the stochastic process {Xt }. This means that for a specific
outcome ω, the sample path shows how the random variable Xt evolves over
time t.
Thus, {Xt } can be described as the collection of all possible sample paths or
trajectories, realized according to the underlying probability space. Hence-
forth, for a process {Xt } consisting of i.i.d. random variables with mean µ
and finite variance σ 2 , we write Xt ∼ IID(µ, σ 2 ).
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper rickprive611. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €13,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 52510 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen