College aantekeningen
Lecture 3 Financial Engineering II (E4707)
- Vak
- Instelling
Lecture 3 Financial Engineering II (E4707) Lecture 3: Martingales and Quadratic Variation Processes 2 Quadratic Variation Processes
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 4 pagina's
Voorbeeld 1 van de 4 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
smymusic5
Voorbeeld van de inhoud
16/06/2024, 03:31 Lecture 3Lecture 3: Martingales and Quadratic Variation Processes
1 Martingales
Martingales play a fundamental role in stochastic calculus. The basic idea of a
martingale is that of a fair game.
Definition 1.1. Let (Ω, F, P) be a probability space. A process {Xt }t≥0 is a martin-
gale (respectively, submartingale, supermartingale) with respect to a filtration {Ft }t≥0
if it is adapted to that filtration, E|Xt | < ∞ for all t and
E[Xt Fs ] = (respectively, ≥, ≤)Xs , ∀s ≤ t.
Example: Prove that a Brownian motion {Wt }t≥0 is a martingale with respect
to Ft := σ (Wu ; 0 ≤ u ≤ t):
E WtFs = E [Wt |Fs ]
= E [Wt − Ws |Fs ] + E [Ws |Fs ]
= E [Wt − Ws ] + Ws
= Ws , s ≤ t.
Hence, the best estimate of the future value of the Brownian motion is its present
value.
Example: Prove that {Wt2}t≥0 is a submartingale with respect to Ft = σ (Wu ; 0 ≤ u ≤ t),
where {Wt }t≥0 is a Brownian motion:
2
E Wt2Fs ≥ E WtFs
= Ws2
where we have used Jensen’s inequality since f (x) = x2 is a convex function.
Example: Prove that {Wt2−t}t≥0 is a martingale with respect to Ft = σ (Wu ; 0 ≤ u ≤ t),
where {Wt }t≥0 is a Brownian motion.
Hint: Compute E Wt2 − Ws2Fs and use independent increment and normality.
1
about:blank 1/4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper smymusic5. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €7,52. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 78861 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen