Real Analysis Notes and Exercises
Description:
This document provides comprehensive notes and exercises on key topics in Real Analysis, designed for undergraduate mathematics students. It spans three pages, covering fundamental concepts such as sequences and limits, series, and continuity. Each s...
Real Analysis Notes and Exercises
Page 1: Sequences and Limits
Notes
1. Definitions:
- Sequence: A sequence is a function from the set of natural numbers ℕ to a set S.
Typically, S ⊆ ℝ, and a sequence is written as (a_n)_{n=1}^∞ or simply (a_n).
- Limit of a Sequence: A sequence (a_n) has a limit L ∈ ℝ if for every ε > 0, there exists
a natural number N such that |a_n - L| < ε for all n ≥ N.
2. Theorems:
- Uniqueness of Limits: If a sequence (a_n) has a limit, then it is unique.
- Squeeze Theorem: If a_n ≤ b_n ≤ c_n for all n ≥ N and lim_{n → ∞} a_n = lim_{n → ∞}
c_n = L, then lim_{n → ∞} b_n = L.
3. Examples:
- Consider the sequence a_n = 1/n. We claim lim_{n → ∞} a_n = 0.
- Given ε > 0, choose N = ⌈1/ε⌉. For n ≥ N, 1/n ≤ 1/N < ε.
2. 2. Show that the sequence a_n = (-1)^n does not have a limit.
Solution:
a_n = (-1)^n alternates between 1 and -1.
For the limit to exist, the sequence must converge to a single value, but here it does not.
3. 3. Determine whether the sequence a_n = √(n+1) - √n converges and find its limit if it
does.
Solution:
a_n = √(n+1) - √n = (√(n+1) - √n)(√(n+1) + √n)/(√(n+1) + √n) = 1/(√(n+1) + √n)
lim_{n → ∞} a_n = lim_{n → ∞} 1/(√(n+1) + √n) = 0
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper notyou1. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.