100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na betaling Zowel online als in PDF Je zit nergens aan vast
logo-home
Eerder door jou gezocht
Eerder door jou gezocht
logo
Summary Real Analysis €2,99   In winkelwagen
Snel navigeren naar
Voorbeeld
  2.  
  3. Informatical Ingeneer
  4.  
  5. Informatical Ingeneer
  6.  
  7. Informatical ingeneer

Samenvatting

Summary Real Analysis
 8 keer bekeken  0 keer verkocht
  • Vak
  • Informatical ingeneer
  • Instelling
  • Informatical Ingeneer

Real Analysis Notes and Exercises Description: This document provides comprehensive notes and exercises on key topics in Real Analysis, designed for undergraduate mathematics students. It spans three pages, covering fundamental concepts such as sequences and limits, series, and continuity. Each s...

[Meer zien]

Voorbeeld 1 van de 4  pagina's

Document informatie

  • 20 juli 2024
  • 4
  • 2023/2024
  • Samenvatting

Onderwerpen

  • analyse réelle
  • mathématiques
  • séquences
  • limites
  • séries
  • convergence
  • continuité
  • théorèmes
  • exercices
  • exemples
  • cours de mathématiques
  • série
  • théorème de la valeur intermédiaire
  • théorème de la valeur extrême

Geschreven voor

  • Informatical ingeneer
Alle documenten voor dit vak (1)

Verkoper

avatar-seller
notyou1

Voorbeeld van de inhoud

Real Analysis Notes and Exercises
Page 1: Sequences and Limits

Notes
1. Definitions:

 - Sequence: A sequence is a function from the set of natural numbers ℕ to a set S.
Typically, S ⊆ ℝ, and a sequence is written as (a_n)_{n=1}^∞ or simply (a_n).
 - Limit of a Sequence: A sequence (a_n) has a limit L ∈ ℝ if for every ε > 0, there exists
a natural number N such that |a_n - L| < ε for all n ≥ N.


2. Theorems:

 - Uniqueness of Limits: If a sequence (a_n) has a limit, then it is unique.
 - Squeeze Theorem: If a_n ≤ b_n ≤ c_n for all n ≥ N and lim_{n → ∞} a_n = lim_{n → ∞}
c_n = L, then lim_{n → ∞} b_n = L.


3. Examples:

 - Consider the sequence a_n = 1/n. We claim lim_{n → ∞} a_n = 0.
 - Given ε > 0, choose N = ⌈1/ε⌉. For n ≥ N, 1/n ≤ 1/N < ε.

Exercises
1. 1. Prove that lim_{n → ∞} (3n+2)/(2n+1) = 3/2.
Solution:
lim_{n → ∞} (3n+2)/(2n+1) = lim_{n → ∞} (3 + 2/n)/(2 + 1/n) = 3/2

2. 2. Show that the sequence a_n = (-1)^n does not have a limit.
Solution:
a_n = (-1)^n alternates between 1 and -1.
For the limit to exist, the sequence must converge to a single value, but here it does not.

3. 3. Determine whether the sequence a_n = √(n+1) - √n converges and find its limit if it
does.
Solution:
a_n = √(n+1) - √n = (√(n+1) - √n)(√(n+1) + √n)/(√(n+1) + √n) = 1/(√(n+1) + √n)
lim_{n → ∞} a_n = lim_{n → ∞} 1/(√(n+1) + √n) = 0

Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:

Verzekerd van kwaliteit door reviews

Verzekerd van kwaliteit door reviews

Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!

Snel en makkelijk kopen

Snel en makkelijk kopen

Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper notyou1. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 85073 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen
€2,99
  • (0)
  Kopen