Hoofdstuk 22 Principles of Corporate Finance 14th ed.
22-1 Creating a replicating portfolio
Discounted Cash Flow model werkt niet bij waarderen opties omdat het risico van opties telkens
verandert als de onderliggende waarde schommelt. Hierdoor kun je geen alternatieve kosten
inschatten.
Een optie is altijd risicovoller dan het onderliggende aandeel. Hogere bèta en afwijkende
rendementen. Hoeveel risicovoller hangt af van de aandelenkoers t.o.v. de uitoefenprijs.
Een stijging van de koers verhoogt de uitbetaling en vermindert het risico op ‘out of the money’
(onveilig). Hoe hoger de koers tov de uitoefenprijs, hoe veiliger de call optie.
REPLICATING PORTFOLIO (We lenen geld en repliceren de kasstroom van een calloptie)
Het gebruik van een optie-equivalente benadering (ook wel de replicating portfolio genoemd), een
beleggingsstrategie waarbij een investering in aandelen wordt gecombineerd met lenen, waarbij de
payoffs (kasstromen) gelijk zijn aan de waarde van de optie.
Rekenvoorbeeld blz. 639
Call up = max S-Ex
Call = 2.196 – 1.830 = 366
Als je een half aandeel koopt van Amazon (0.54545) x 2.196,= (s is 20% gestegen) = 1.197,82
Minus geleend geld van de bank ten bedrage van 831,82 terugbetalen = ook 366!
Dus de kasstroom bij geleend geld is hetzelfde als kasstroom van de calloptie.
Dit is de ‘law of one price’ die zegt dat beide investeringen vandaag dezelfde waarde hebben.
Waarde van call (C) = portfolio bestaand uit het deel (delta) van je aandeel (S) x aandeelprijs
+ banklening (B) : 1+ rf value C = delta * S + B
HEDGE RATIO (OF OPTIE DELTA) is het aantal aandelen dat nodig is om een call te repliceren.
In het voorbeeld was dat 0,54545. Dus de delta is 0,54545
Aandelenprijs S kan stijgen met % u, tot Su en ook dalen met factor d, 1/u tot Sd.
Delta=
∆ = SPREAD OF POSSIBLE OPTION PRICES Cu - Cd
--------------------------------------------------------- = ----------
SPREAD OF POSSIBLE SHARE PRICES Su - Sd
Lenen van de bank = schuld (debt) B
B is negatieve investering in de risicovrije asset
B= 1/1+r x (u X Cd) – d X Cu
---------------------
u-d
u is een factor, door max S te delen door EX
bijvoorbeeld 2196: 1830 = 1.2
Factor is dan 1.2
(20%)
D is 1: u (dit is ook een factor!)
Cu is de prijsstijging : max S-EX,0 en Cd is 0
, Een call optie op een aandeel staat gelijk aan een aandeel financieren met geleend geld en daarom is
een call optie altijd riskanter dan een aandeel.
Call opties creëren hefboomwerking die niet op de balans staan. Erg belangrijk.
De delta van een optie wordt gedefinieerd als de verhouding tussen het verschil van mogelijke
optiekoersen en het verschil van de bijbehorende onderliggende aandelenkoersen.
Risico neutrale waarderingsmethode (risk-neutral valuation)
De optiepremie kan nooit afhangen van risico-averse of juist risico-accepterende investeerders. Dus
we doen alsof investeerders niet geven om risico’s en disconteren met rf.
In dat geval is het verwachte rendement op een actief gelijk aan de rentevoet. Je moet dan de
verwachte toekomstige waarde van de optie in deze denkbeeldige risiconeutrale wereld berekenen
en dit cijfer verdisconteren tegen de rentevoet om de contante waarde van de optie te vinden.
De kans dat een aandeel 20% stijgt = [p* x 20%] en daalt met 16,667%
Het verwachte rendement is dan: [p* x 20%] + [(1-p*) x (- 16,667%)] = 2%
P* is dus 0,50909 of 50,909%
Probability
Formule om risico neutrale kans op stijging van het aandeel uit te rekenen is:
P* = (1+r) n – d
-----------
u-d
n=verwacht rendement uitgedrukt in jaren
u= max s : aandeelprijs
d = 1: u
De verwachte (expected) toekomstige waarde van een call optie bij de risico neutrale berekening is:
(zelfde cijfers)
Call = max S – Ex = 2.196 – 1.830 = 366
Rente 2%
(P* x 366) + [(1-p*) x 0]
= (0,50909= x 366) + (0,49091 x 0)
= € 186,33
De huidige (current) waarde van de call is: € 186,33 : 1,r = € 186,33: 1,02 = € 182,67
PUT optie waarderen blz 643
22-1 Creating a replicating portfolio
Discounted Cash Flow model werkt niet bij waarderen opties omdat het risico van opties telkens
verandert als de onderliggende waarde schommelt. Hierdoor kun je geen alternatieve kosten
inschatten.
Een optie is altijd risicovoller dan het onderliggende aandeel. Hogere bèta en afwijkende
rendementen. Hoeveel risicovoller hangt af van de aandelenkoers t.o.v. de uitoefenprijs.
Een stijging van de koers verhoogt de uitbetaling en vermindert het risico op ‘out of the money’
(onveilig). Hoe hoger de koers tov de uitoefenprijs, hoe veiliger de call optie.
REPLICATING PORTFOLIO (We lenen geld en repliceren de kasstroom van een calloptie)
Het gebruik van een optie-equivalente benadering (ook wel de replicating portfolio genoemd), een
beleggingsstrategie waarbij een investering in aandelen wordt gecombineerd met lenen, waarbij de
payoffs (kasstromen) gelijk zijn aan de waarde van de optie.
Rekenvoorbeeld blz. 639
Call up = max S-Ex
Call = 2.196 – 1.830 = 366
Als je een half aandeel koopt van Amazon (0.54545) x 2.196,= (s is 20% gestegen) = 1.197,82
Minus geleend geld van de bank ten bedrage van 831,82 terugbetalen = ook 366!
Dus de kasstroom bij geleend geld is hetzelfde als kasstroom van de calloptie.
Dit is de ‘law of one price’ die zegt dat beide investeringen vandaag dezelfde waarde hebben.
Waarde van call (C) = portfolio bestaand uit het deel (delta) van je aandeel (S) x aandeelprijs
+ banklening (B) : 1+ rf value C = delta * S + B
HEDGE RATIO (OF OPTIE DELTA) is het aantal aandelen dat nodig is om een call te repliceren.
In het voorbeeld was dat 0,54545. Dus de delta is 0,54545
Aandelenprijs S kan stijgen met % u, tot Su en ook dalen met factor d, 1/u tot Sd.
Delta=
∆ = SPREAD OF POSSIBLE OPTION PRICES Cu - Cd
--------------------------------------------------------- = ----------
SPREAD OF POSSIBLE SHARE PRICES Su - Sd
Lenen van de bank = schuld (debt) B
B is negatieve investering in de risicovrije asset
B= 1/1+r x (u X Cd) – d X Cu
---------------------
u-d
u is een factor, door max S te delen door EX
bijvoorbeeld 2196: 1830 = 1.2
Factor is dan 1.2
(20%)
D is 1: u (dit is ook een factor!)
Cu is de prijsstijging : max S-EX,0 en Cd is 0
, Een call optie op een aandeel staat gelijk aan een aandeel financieren met geleend geld en daarom is
een call optie altijd riskanter dan een aandeel.
Call opties creëren hefboomwerking die niet op de balans staan. Erg belangrijk.
De delta van een optie wordt gedefinieerd als de verhouding tussen het verschil van mogelijke
optiekoersen en het verschil van de bijbehorende onderliggende aandelenkoersen.
Risico neutrale waarderingsmethode (risk-neutral valuation)
De optiepremie kan nooit afhangen van risico-averse of juist risico-accepterende investeerders. Dus
we doen alsof investeerders niet geven om risico’s en disconteren met rf.
In dat geval is het verwachte rendement op een actief gelijk aan de rentevoet. Je moet dan de
verwachte toekomstige waarde van de optie in deze denkbeeldige risiconeutrale wereld berekenen
en dit cijfer verdisconteren tegen de rentevoet om de contante waarde van de optie te vinden.
De kans dat een aandeel 20% stijgt = [p* x 20%] en daalt met 16,667%
Het verwachte rendement is dan: [p* x 20%] + [(1-p*) x (- 16,667%)] = 2%
P* is dus 0,50909 of 50,909%
Probability
Formule om risico neutrale kans op stijging van het aandeel uit te rekenen is:
P* = (1+r) n – d
-----------
u-d
n=verwacht rendement uitgedrukt in jaren
u= max s : aandeelprijs
d = 1: u
De verwachte (expected) toekomstige waarde van een call optie bij de risico neutrale berekening is:
(zelfde cijfers)
Call = max S – Ex = 2.196 – 1.830 = 366
Rente 2%
(P* x 366) + [(1-p*) x 0]
= (0,50909= x 366) + (0,49091 x 0)
= € 186,33
De huidige (current) waarde van de call is: € 186,33 : 1,r = € 186,33: 1,02 = € 182,67
PUT optie waarderen blz 643
