Domein 1: Hele getallen
Algoritme:
Een algoritme is een oplossingsmethode opgebouwd uit een vaste rij elementaire rekenstappen die
zeker tot het goede antwoord voert. Cijferend rekenen is een voorbeeld van een algoritme.
Er bestaan binnen rekenen-wiskunde talloze algoritmen. Wanneer men bijvoorbeeld cijferend
vermenigvuldigt ("onder elkaar"), gebruikt men een of andere vorm van een
vermenigvuldigalgoritme. In het geval van het vermenigvuldigalgoritme bestaan de elementaire
handelingen uit het gebruiken van de vermenigvuldigtafels tot en met 10, het splitsen in eenheden,
tientallen enzovoort, het noteren van getallen op de juiste plaats en het onthouden van getallen. Ook
in het dagelijks leven komt men in aanraking met voorbeelden van gebruik van een algoritme. Om de
gewenste koffie uit een koffieautomaat te krijgen, dient men heel precies en in de juiste volgorde de
stappen te volgen die op de automaat staan aangegeven. Alleen dan krijgt men de koffie die men
wenste.
Priemgetallen:
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf.
Het kleinste priemgetal is 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers. Het volgende is 3, met alleen de
delers 1 en 3. Het getal 4 is geen priemgetal, het heeft behalve 1 en 4 ook 2 als deler.
De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113.
Wanneer men een priemgetal als figuraal getal ziet, dan is het een rechthoeksgetal dat maar op één
manier geordend kan worden. Zo kan het getal 7 slechts op onderstaande manier op één manier
geordend worden (omdat 7 een priemgetal is).
,De oudste methode om priemgetallen te vinden is de zeef van Eratosthenes.
Stel we willen alle priemgetallen onder de 100 vinden.
1. Maak een gesorteerde lijst van alle getallen van 2 tot en met 100 (het is handig deze in een
honderdveld te zetten).
2. Kies het kleinste getal uit de lijst.
3. Streep alle veelvouden van het gekozen getal door (maar niet het getal zelf).
4. Kies het volgende getal uit de lijst en ga verder met stap 3.
De getallen die op deze manier overblijven zijn alle priemgetallen onder de honderd.
KGV (kleinste gemene veelvoud):
Het kleinste gemene (of gemeenschappelijke) veelvoud van twee verschillende gehele getallen
(afgekort KGV) is het kleinste gehele getal dat een veelvoud is van beide getallen. Het KGV staat
tegenover de grootste gemene (of gemeenschappelijke) deler (afgekort GGD), het grootste getal dat
van beide getallen deler is. Om twee breuken op te tellen, moeten beide breuken dezelfde noemer
hebben. Hebben ze die niet, dan worden ze op één noemer gebracht. Als gemeenschappelijke
noemer kan het product van beide noemers gekozen worden, maar het is voldoende het KGV van
beide noemers te nemen.
Het kleinste gemene veelvoud van 15 en 27 is gelijk aan 135.
Wanneer twee getallen onderling priem zijn, dan is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van
die getallen het product van die getallen. Omdat de getallen 6 en 35 onderling priem zijn
(6 = 2 x 3 en 35 = 5 x 7; beide getallen hebben geen priemfactoren gemeenschappelijk), is het KGV(6,
35) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210.
GGD (grootste gemene (of gemeenschappelijke) deler):
De grootste gemene (of gemeenschappelijke) deler van twee verschillende gehele getallen (afgekort
GGD) is het grootste gehele getal waardoor beide getallen gedeeld kunnen worden.
De GGD staat tegenover het KGV (afgekort KGV), het kleinste getal dat een veelvoud is van beide
getallen. Het vereenvoudigen van een breuk is in één keer klaar door van teller en noemer de GGD te
bepalen en vervolgens daarmee de breuk te vereenvoudigen.
De grootste gemeenschappelijke deler van 24 en 204 is 12.
De delers van 24 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 12 en 24.
De delers van 204 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 34, 51, 68, 102 en 204.
De grootste gemeenschappelijke deler van 24 en 204 is dus 12.
De grootste gemeenschappelijke deler van 24 en 204 kan ook gevonden worden door beide getallen
eerst in priemfactoren te ontbinden:
24 = 2 x 2 x 2 x 3.
204 = 2 x 2 x 3 x 17.
De grootste gemeenschappelijke deler vindt men van iedere priemfactor in beide getallen de minst
voorkomende te nemen: GGD(24, 204) = 2 x 2 x 3 = 12.
Combinatoriek:
Bij combinatoriek gaat het om telproblemen. Je moet tellen hoeveel combinaties van objecten er
mogelijk zijn.
Als ik bijvoorbeeld drie verschillende truien en vier verschillende broeken heb, kan ik daarmee 3 x 4 =
12 combinaties maken.
,Een wegendiagram of boomdiagram is een goed model om telproblemen te visualiseren.
Zo kun je bijvoorbeeld in het volgende diagram alle combinaties van truien en broeken aflezen.
Combinatoriek sp
drukt de verhoud
combinaties en h
Bijvoorbeeld: Hoe
dobbelstenen?
De gewenste com
zijn er 5.
Het totaal aantal
Talstelsel:
Een talstelsel, get
systeem om geta
een talstelsel een
opnoemen van ge
van noteren van d
talstelsels als het
het sexagesimale
en hexadecimale
gebruiken het de
talstelsels wordt
positiestelsels en
Bij een positieste
wordt een getal v
plaats van de cijfe
waarden worden
zogenaamde gron
noteren van geta
positiestelsel met
bepaalt de plaats
tientallig stelsel s
2 x 10 + 5 x 1), te
100 (= 5 x 10 + 2 x
Een voorbeeld va
cijfers. De getalle
en representeren
6). Het verschil is
afzonderlijke sym
nl. I staat voor ee
positie. De plaats
opgeteld (vandaa
ook bij cijfers.
Binair getallensys
, Een binair getallensysteem of talstelsel is een talstelsel dat
een positioneel talstelsel is met als grondtal 2. De
gebruikte cijfers zijn 0 en 1.
Zo heeft het binaire getal 11011 in ons tientallig stelsel de
waarde van
1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 1 + 1 x 20 =
1 x 16 + 1 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 = 27.
Sexagesimaal:
Een sexagesimaal getallensysteem of talstelsel is
een talstelsel dat een positioneel getallenstelsel is met als
grondtal 60.
De Babyloniërs gebruikten een zestigtallig talstelsel.
Restanten van het zetigtallig talstelsel zijn nog terug te
vinden van de verdeling van een uur in 60 minuten en 1
minuut in 60 seconden en bij een volle hoek die 360 o is en
waarbij de graden in 60 minuten verdeeld zijn (notatie: ‘)
en een minuut in 60 seconden (notatie: ‘’)
Hexadecimaal getallensysteem of talstelsel:
Een hexadecimaal getallensysteem of talstelsel is een
talstelsel dat een positioneel talstelsel is met als grondtal
16. De gebruikte ‘cijfers’ zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E en F. De gebruikte ‘cijfers’ zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B, C, D, E en F.
Zo heeft het hexadecimale getal 9A in ons tientallig stelsel
de waarde van 9 x 161 + A x 160 = 9 x 16 + A x 1 = 9 x 16 +
10 x 1 = 154.
Het hexadecimale getal A9 heeft in ons tientallig stelsel de
waarde van A x 161 + 9 x 160 = 10 x 16 + 9 x 1 = 160 + 9 =
169.
Model:
In het reken-wiskundeonderwijs wordt het begrip model
gebruikt voor een afspiegeling van de werkelijkheid. Het
zijn plaatjes of schematische voorstellingen met een
algemeen karakter die op meerdere situaties toepasbaar
zijn. In zo’n model van de werkelijkheid kun je
situaties nabootsen om de werkelijkheid te onderzoeken.
Het model vormt dan een brug tussen de situatie of de
context en het rekenwerk in de vorm van ‘kale’ sommen.
Er wordt onderscheid gemaakt tussen een denkmodel en
een rekenmodel.
Een tweede onderscheid dat men maakt, is tussen een
model van en een model voor.
Een denkmodel is een model dat mentaal (‘in je hoofd’)
kan worden opgeroepen, wanneer men voor een
