,REVIEW OF DIFFERENTIATION
Rules
d d
1. Constant: c=0 2. Constant Multiple: cf (x) = c f (x)
dx dx
d d
3 . Sum: [ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) 4. Product: f (x) g(x) = f (x) g (x) + g(x) f (x)
dx dx
d f (x) g(x)f (x) f (x) g (x) d
5. Quotient: = 6. Chain: f ( g(x)) = f ( g(x)) g (x)
dx g(x) [ g(x)]2 dx
d n 1 d 1
7. Power: x = nx n 8. Power: [ g(x)]n = n[ g(x)]n g (x)
dx dx
Functions
Trigonometric:
d d d
9. sin x = cos x 10. cos x = sin x 11. tan x = sec 2 x
dx dx dx
d d d
12. cot x = csc 2 x 13. sec x = sec x tan x 14. csc x = csc x cot x
dx dx dx
Inverse trigonometric:
d 1 1 d 1 1 d 1 1
15. sin x= 16. cos x= 17. tan x=
dx 1 x 2 dx 1 x 2 dx 1 + x2
d 1 1 d 1 1 d 1 1
18. cot x= 2
19. sec x= 20. csc x=
dx 1+ x dx x x 2
1 dx x x2 1
Hyperbolic:
d d d
21. sinh x = cosh x 22. cosh x = sinh x 23. tanh x = sech 2 x
dx dx dx
d d d
24. coth x = csch 2 x 25. sech x = sech x tanh x 26. csch x = csch x coth x
dx dx dx
Inverse hyperbolic:
d 1 1 d 1 1 d 1 1
27. sinh x= 28. cosh x= 29. tanh x=
dx x +12 dx x 2
1 dx 1 x2
d 1 1 d 1 1 d 1 1
30. coth x= 2
31. sech x= 32. csch x=
dx 1 x dx x 1 x2 dx x x2 + 1
Exponential:
d x d x
33. e = ex 34. b = bx (ln b)
dx dx
Logarithmic:
d 1 d 1
35. ln x = 36. log b x =
dx x dx x(ln b)
,BRIEF TABLE OF INTEGRALS
u n 1 1
1.
³u n du
n 1
C , n z 1 2.
³ u du ln u C
1
³ e du e C ³ a du ln a a C
u u u u
3. 4.
5.
³ sin u du cos u C 6.
³ cos u du sin u C
³ sec u du tan u C ³ csc u du cot u C
2 2
7. 8.
9.
³ sec u tan u du sec u C 10.
³ csc u cot u du csc u C
11.
³ tan u du ln cos u C 12.
³ cot u du ln sin u C
13.
³ sec u du ln sec u tan u C 14.
³ csc u du ln csc u cot u C
15.
³ u sin u du sin u u cos u C 16.
³ u cos u du cos u u sin u C
³ sin u du u sin 2u C ³ cos u du u sin 2u C
2 1 1 2 1 1
17. 2 4
18. 2 4
³ tan u du tan u u C ³ cot u du cot u u C
2 2
19. 20.
³ sin u du 2 sin u cos u C ³ cos u du 2 cos u sin u C
3 1 2 3 1 2
21. 3
22. 3
³ tan u du tan u ln cos u C ³ cot u du cot u ln sin u C
3 1 2 3 1 2
23. 2
24. 2
³ sec u du sec u tan u ln sec u tan u C ³ csc u du csc u cot u ln csc u cot u C
3 1 1 3 1 1
25. 2 2
26. 2 2
sin( a b)u sin( a b)u sin(a b)u sin(a b)u
27.
³ sin au cos bu du 2(a b) 2(a b) C 28.
³ cos au cos bu du 2(a b) 2(a b) C
e au eau
29.
³eau sin bu du
a 2 b2
a sin bu b cos bu C 30.
³eau cos bu du
a2 b2
a cos bu b sin bu C
31.
³ sinh u du cosh u C 32.
³ cosh u du sinh u C
³ sech u du tanh u C ³ csch u du coth u C
2 2
33. 34.
35.
³ tanh u du ln(cosh u) C 36.
³ coth u du ln sinh u C
³ ln u du u ln u u C ³ u ln u du u ln u u C
1 2 1 2
37. 38. 2 4
1 u 1
³ a u du sin a C ³ a u du ln u a u
1
39. 40. 2 2
C
2 2 2 2
u 2 a2 u u 2 a2
41.
³ a 2 u 2 du
2
a u2
2
sin 1 C
a
42.
³ a 2 u 2 du
2
a u 2 ln u a 2 u 2 C
2
1 1 u 1 1 au
43.
³a 2
u2
du
a
tan 1 C
a
44.
³a 2
u2
du ln
2a a u
C
Note: Some techniques of integration, such as integration by parts and partial fractions, are
reviewed in the Student Resource and Solutions Manual that accompanies this text.
, TABLE OF LAPLACE TRANSFORMS
f (t) ᏸ{ f (t)} F(s) f (t) ᏸ{ f (t)} F(s)
1 k
1. 1 20. e at sinh kt
s (s a)2 k2
1 sa
2. t 21. e at cosh kt
s2 (s a)2 k2
n! 2ks
3. t n , n a positive integer 22. t sin kt
sn1 (s2 k2)2
Bs
s2 k2
4. t 1/2 23. t cos kt
(s2 k2)2
1 2 ks2
5. t 1/2 24. sin kt kt cos kt
2s3/2 (s k2)2
2
( 1) 2 k3
6. t a , a 1 25. sin kt kt cos kt
s1 (s k2)2
2
k 2 ks
7. sin kt 26. t sinh kt
s2 k2 (s2 k2)2
s s2 k2
8. cos kt 27. t cosh kt
s2 k2 (s2 k2)2
2k 2 eat ebt 1
9. sin2 kt 28.
s(s2 4k2) ab (s a)(s b)
s2 2k2 aeat bebt s
10. cos2 kt 29.
s(s2 4 k2) ab (s a)(s b)
1 k2
11. e at 30. 1 cos kt
sa s(s k2)2
k k3
12. sinh kt 31. kt sin kt
s k2
2
s (s k2)
2 2
s a sin bt b sin at 1
13. cosh kt 32.
s2 k2 ab (a2 b2) (s2 a2)(s2 b2)
2k2 cos bt cos at s
14. sinh2 kt 33.
s(s2 4k2) a2 b2 (s2 a2)(s2 b2)
s2 2k2 2 k2s
15. cosh2 kt 34. sin kt sinh kt
s(s2 4k2) s4 4k4
1 k(s2 2 k2 )
16. te at 35. sin kt cosh kt
(s a)2 s4 4k4
n! k(s2 2k2 )
17. t n e at , n a positive integer 36. cos kt sinh kt
(s a)n1 s4 4k4
k s3
18. e at sin kt 37. cos kt cosh kt
(s a)2 k2 s 4k4
4
1s2 k2
sa 1
19. e at cos kt 38. J 0 (kt)
(s a)2 k2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper mitchelwiliams. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €17,07. Je zit daarna nergens aan vast.
