3. NT = necessarily true, NNT = Not necessarily true. Given: 2 < x < 6.
a) NNT. 5 is a counter example.
b) NT. 2 < x < 6 Ê 2 2 < x 2 < 6 2 Ê 0 < x 2 < 2.
c) NT. 2 < x < 6 Ê 2/2 < x/2 < 6/2 Ê 1 < x < 3.
d) NT. 2 < x < 6 Ê 1/2 > 1/x > 1/6 Ê 1/6 < 1/x < 1/2.
e) NT. 2 < x < 6 Ê 1/2 > 1/x > 1/6 Ê 1/6 < 1/x < 1/2 Ê 6(1/6) < 6(1/x) < 6(1/2) Ê 1 < 6/x < 3.
f) NT. 2 < x < 6 Ê x < 6 Ê (x 4) < 2 and 2 < x < 6 Ê x > 2 Ê x < 2 Ê x + 4 < 2 Ê (x 4) < 2.
The pair of inequalities (x 4) < 2 and (x 4) < 2 Ê | x 4 | < 2.
g) NT. 2 < x < 6 Ê 2 > x > 6 Ê 6 < x < 2. But 2 < 2. So 6 < x < 2 < 2 or 6 < x < 2.
h) NT. 2 < x < 6 Ê 1(2) > 1(x) < 1(6) Ê 6 < x < 2
4. NT = necessarily true, NNT = Not necessarily true. Given: 1 < y 5 < 1.
a) NT. 1 < y 5 < 1 Ê 1 + 5 < y 5 + 5 < 1 + 5 Ê 4 < y < 6.
b) NNT. y = 5 is a counter example. (Actually, never true given that 4 y 6)
c) NT. From a), 1 < y 5 < 1, Ê 4 < y < 6 Ê y > 4.
d) NT. From a), 1 < y 5 < 1, Ê 4 < y < 6 Ê y < 6.
e) NT. 1 < y 5 < 1 Ê 1 + 1 < y 5 + 1 < 1 + 1 Ê 0 < y 4 < 2.
f) NT. 1 < y 5 < 1 Ê (1/2)(1 + 5) < (1/2)(y 5 + 5) < (1/2)(1 + 5) Ê 2 < y/2 < 3.
g) NT. From a), 4 < y < 6 Ê 1/4 > 1/y > 1/6 Ê 1/6 < 1/y < 1/4.
h) NT. 1 < y 5 < 1 Ê y 5 > 1 Ê y > 4 Ê y < 4 Ê y + 5 < 1 Ê (y 5) < 1.
Also, 1 < y 5 < 1 Ê y 5 < 1. The pair of inequalities (y 5) < 1 and (y 5) < 1 Ê | y 5 | < 1.
5. 2x 4 Ê x 2
6. 8 3x 5 Ê 3x 3 Ê x Ÿ 1 ïïïïïïïïïñqqqqqqqqp x
1
7. 5x $ Ÿ ( 3x Ê 8x Ÿ 10 Ê x Ÿ 5
4
8. 3(2 x) 2(3 x) Ê 6 3x 6 2x
Ê 0 5x Ê 0 x ïïïïïïïïïðqqqqqqqqp x
0
"
9. 2x # 7x 7
6 Ê "# 7
6 5x
Ê "
5
ˆ 10 ‰
6 x or "
3 x
6 x 3x4
10. 4 2 Ê 12 2x 12x 16
Ê 28 14x Ê 2 x qqqqqqqqqðïïïïïïïïî x
2
,2 Chapter 1 Preliminaries
"
11. 4
5 (x 2) 3 (x 6) Ê 12(x 2) 5(x 6)
Ê 12x 24 5x 30 Ê 7x 6 or x 67
12. x2 5 Ÿ 123x
4 Ê (4x 20) Ÿ 24 6x
Ê 44 Ÿ 10x Ê 22
5 Ÿ x qqqqqqqqqñïïïïïïïïî x
22/5
13. y œ 3 or y œ 3
14. y 3 œ 7 or y 3 œ 7 Ê y œ 10 or y œ 4
15. 2t 5 œ 4 or 2t & œ 4 Ê 2t œ 1 or 2t œ 9 Ê t œ "# or t œ 9#
16. 1 t œ 1 or 1 t œ 1 Ê t œ ! or t œ 2 Ê t œ 0 or t œ 2
17. 8 3s œ 9
2 or 8 3s œ #9 Ê 3s œ 7# or 3s œ 25
# Ê sœ
7
6 or s œ 25
6
18. s
# 1 œ 1 or s
# 1 œ 1 Ê s
# œ 2 or s
# œ ! Ê s œ 4 or s œ 0
19. 2 x 2; solution interval (2ß 2)
20. 2 Ÿ x Ÿ 2; solution interval [2ß 2] qqqqñïïïïïïïïñqqqqp x
2 2
21. 3 Ÿ t 1 Ÿ 3 Ê 2 Ÿ t Ÿ 4; solution interval [2ß 4]
22. 1 t 2 1 Ê 3 t 1;
solution interval (3ß 1) qqqqðïïïïïïïïðqqqqp t
3 1
23. % 3y 7 4 Ê 3 3y 11 Ê 1 y 11
3 ;
solution interval ˆ1ß 11 ‰
3
24. 1 2y 5 " Ê 6 2y 4 Ê 3 y 2;
solution interval (3ß 2) qqqqðïïïïïïïïðqqqqp y
3 2
25. 1 Ÿ z
5 1Ÿ1 Ê 0Ÿ z
5 Ÿ 2 Ê 0 Ÿ z Ÿ 10;
solution interval [0ß 10]
26. 2 Ÿ 1 Ÿ 2 Ê 1 Ÿ
3z
#
3z
# Ÿ 3 Ê 32 Ÿ z Ÿ 2;
solution interval 23 ß 2‘ qqqqñïïïïïïïïñqqqqp z
2/3 2
27. "# 3 "
x "
# Ê 7# x" 5# Ê 7
# "
x 5
#
Ê 2
7 x 2
5 ; solution interval ˆ 27 ß 25 ‰
"
28. 3 2
x 43 Ê 1 2
x ( Ê 1 x
# 7
Ê 2x 2
7 Ê 2
7 x 2; solution interval ˆ 27 ß 2‰ qqqqðïïïïïïïïðqqqqp x
2/7 2
, Section 1.1 Real Numbers and the Real Line 3
29. 2s 4 or 2s 4 Ê s 2 or s Ÿ 2;
solution intervals (_ß 2] [2ß _)
" "
30. s 3 # or (s 3) # Ê s 5# or s 7
#
Ê s 5# or s Ÿ 7# ;
solution intervals ˆ_ß 7# ‘ 5# ß _‰ ïïïïïïñqqqqqqñïïïïïïî s
7/2 5/2
31. 1 x 1 or (" x) 1 Ê x 0 or x 2
Ê x 0 or x 2; solution intervals (_ß !) (2ß _)
32. 2 3x 5 or (2 3x) 5 Ê 3x 3 or 3x 7
Ê x 1 or x 73 ;
solution intervals (_ß 1) ˆ 73 ß _‰ ïïïïïïðqqqqqqðïïïïïïî x
1 7/3
33. r"
# 1 or ˆ r# 1 ‰ 1 Ê r1 2 or r 1 Ÿ 2
Ê r 1 or r Ÿ 3; solution intervals (_ß 3] [1ß _)
34. 3r
5 " 2
5 or ˆ 3r5 "‰ 2
5
Ê 3r
5
or 3r5 53 Ê r 37 or r 1
7
5
solution intervals (_ß ") ˆ 73 ß _‰ ïïïïïïðqqqqqqðïïïïïïî r
1 7/3
35. x# # Ê kxk È2 Ê È2 x È2 ;
solution interval ŠÈ2ß È2‹ qqqqqqðïïïïïïðqqqqqqp x
È # È#
36. 4 Ÿ x# Ê 2 Ÿ kxk Ê x 2 or x Ÿ 2;
solution interval (_ß 2] [2ß _) ïïïïïïñqqqqqqñïïïïïïî r
2 2
37. 4 x# 9 Ê 2 kxk 3 Ê 2 x 3 or 2 x 3
Ê 2 x 3 or 3 x 2;
solution intervals (3ß 2) (2ß 3) qqqqðïïïïðqqqqðïïïïðqqqp x
3 2 2 3
" " " " " " " "
38. 9 x# 4 Ê 3 kxk # Ê 3 x # or 3 x #
" "
Ê 3 x or #" x 3" ;
#
solution intervals ˆ "# ß 3" ‰ ˆ 3" ß #" ‰ qqqqðïïïïðqqqqðïïïïðqqqp x
1/2 1/3 1/3 1/2
39. (x 1)# 4 Ê kx 1k 2 Ê 2 x 1 2
Ê 1 x 3; solution interval ("ß $) qqqqqqðïïïïïïïïðqqqqp x
1 3
40. (x 3)# # Ê kx 3k È2
Ê È2 x 3 È2 or 3 È2 x 3 È2 ;
solution interval Š3 È2ß 3 È2‹ qqqqqqðïïïïïïïïðqqqqp x
3 È # 3 È #
, 4 Chapter 1 Preliminaries
Ê ˆx 12 ‰ <
2
41. x# x 0 Ê x# x + 1
4 < 1
4
1
4 ʹx 1
2 ¹< 1
2 Ê 12 < x 1
2 < 1
2 Ê 0 < x < 1.
So the solution is the interval (0ß 1)
42. x# x 2 0 Ê x# x + 1
4
9
4 Ê ¹x 1
2 ¹ 3
2 Ê x 1
2
3
2 or ˆx 12 ‰ 3
2 Ê x 2 or x Ÿ 1.
The solution interval is (_ß 1] [2ß _)
43. True if a 0; False if a 0.
44. kx 1k œ 1 x Í k(x 1)k œ 1 x Í 1 x 0 Í xŸ1
45. (1) ka bk œ (a b) or ka bk œ (a b);
both squared equal (a b)#
(2) ab Ÿ kabk œ kak kbk
(3) kak œ a or kak œ a, so kak# œ a# ; likewise, kbk# œ b#
(4) x# Ÿ y# implies Èx# Ÿ Èy# or x Ÿ y for all nonnegative real numbers x and y. Let x œ ka bk and
y œ kak kbk so that ka bk# Ÿ akak kbkb# Ê ka bk Ÿ kak kbk .
46. If a 0 and b 0, then ab 0 and kabk œ ab œ kak kbk .
If a 0 and b 0, then ab 0 and kabk œ ab œ (a)(b) œ kak kbk .
If a 0 and b 0, then ab Ÿ 0 and kabk œ (ab) œ (a)(b) œ kak kbk .
If a 0 and b 0, then ab Ÿ 0 and kabk œ (ab) œ (a)(b) œ kak kbk .
47. 3 Ÿ x Ÿ 3 and x "# Ê "
# x Ÿ 3.
48. Graph of kxk kyk Ÿ 1 is the interior
of “diamond-shaped" region.
49. Let $ be a real number > 0 and f(x) = 2x + 1. Suppose that | x1 | < $ . Then | x1 | < $ Ê 2| x1 | < 2$ Ê
| 2x # | < 2$ Ê | (2x + 1) 3 | < 2$ Ê | f(x) f(1) | < 2$
50. Let % > 0 be any positive number and f(x) = 2x + 3. Suppose that | x 0 | < % /2. Then 2| x 0 | < % and
| 2x + 3 3 | < %. But f(x) = 2x + 3 and f(0) = 3. Thus | f(x) f(0) | < %.
51. Consider: i) a > 0; ii) a < 0; iii) a = 0.
i) For a > 0, | a | œ a by definition. Now, a > 0 Ê a < 0. Let a = b. By definition, | b | œ b. Since b = a,
| a | œ (a) œ a and | a | œ | a | œ a.
ii) For a < 0, | a | œ a. Now, a < 0 Ê a > 0. Let a œ b. By definition, | b | œ b and thus |a| œ a. So again
| a | œ |a|.
iii) By definition | 0 | œ 0 and since 0 œ 0, | 0 | œ 0. Thus, by i), ii), and iii) | a | œ | a | for any real number.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper NurseAdvocate. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €14,60. Je zit daarna nergens aan vast.
