Samenvatting
Samenvatting Calculus 1
Complexe getallen, volledige inductie, limieten, differentatie, transcendental functions, integralen
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 9 pagina's
Voorbeeld 2 van de 9 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Gekoppeld boek
Titel boek:
Auteur(s):
- Uitgave:
- ISBN:
- Druk:
1 beoordeling
Door: rang92 • 7 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
1.1 Calculus 1R reële getallen
N natuurlijke getallen ,0,1,2,…-
Z gehele getallen ,…,-2,-1,0,1,2,…-
Q rationale getallen (te schrijven als een breuk van gehele getallen)
C complexe getallen
Complexe getallen
Dictaat: Complex H1-H7
We voeren twee nieuwe, niet reële getallen in, die we i en –i noemen via de definitie i2 = (-i)2 = -1.
Complexe getallen zijn alle getallen van de vorm a + bi, waar a en b reëel zijn. We noteren de
verzameling van de complexe getallen met c. Dus c = { a + bi | a, b є r }
Vb: z = 3 + 2i w = -1 – i
z+w=2+i
z – w = 4 + 3i
z ∙ w = (3 + 2i)(-1 – i) = -3 - 5i – 2i2 = -1 – 5i
z = 3 + 2i = (3 + 2i)(-1 + i) = -5 + i = -5 + i om een term x + by uit de noemer weg te
w -1 – i (-1 – i)(-1 + i) 2 2 2 halen, vermenigvuldigen we teller en noemer
met x – by.
Voor het complexe getal z = a + bi noemen we het getal z = a – bi de complex geconjugeerde of
complex toegevoegde van het getal z. Voor z is a het reële deel en b het imaginaire deel. We noteren
het imaginaire deel met Im z = a en het reële deel met Re z = b.
We identificeren een complex getal met een punt in het platte vlak: x + iy (x, y), waarbij 1 dus op
(1, 0), i op (0, 1) en een reëel getal x op (x, 0) ligt.
Getallen van de vorm iy heten imaginaire getallen, de verzameling { iy: y є r } heet de imaginaire as.
Punten in het platte vlak kun je ook met poolcoördinaten weergeven: elk punt P wordt eenduidig
bepaald door de afstand r tot (0, 0) en de hoek φ die het lijnstuk van P naar 0 maakt met de positieve
x-as. Het paar (r, φ) zijn de poolcoördinaten van P, met de afspraak –π < φ ≤ π.
x = r cos φ en y = r sin φ
r = √(x2 + y2)
, cos φ = x . sin φ = y .
√(x2 + y2) √(x2 + y2)
r = modulus = |z|
φ = hoofdwaarde van het argument van z = Arg z
We spreken van het argument van z als we ons niet langer beperken tot –π < 0 ≤ π. Notatie: arg z.
Bij vermenigvuldigen van complexe getallen moet je de moduli van de complexe getallen met elkaar
vermenigvuldigen en de argumenten bij elkaar optellen.
|z1z2| = |z1| ∙ |z2| arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
We hanteren als notatie eiφ = cos φ + i sin φ, dus een complex getal z met modulus r en argument φ
is te schrijven als: z = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ) = reiφ.
De Moivre’s stelling: zn = rn(cos nφ + i sin nφ). Dus we verheffen de modulus tot macht n en
vermenigvuldigen de argumenten met n.
Volledige inductie
Dictaat: Inductie H1, H3
Somnotatie:
∑
Volledige inductie is een methode om beweringen te bewijzen die voor alle natuurlijke getallen n
waar zijn. De manier waarop je hierbij te werk gaat is als volgt:
1) Basisstap: laat zien dat de bewering waar is voor n=1.
2) Inductiestap: laat zien dat de bewering waar is voor het getal m+1 als deze waar is voor m.
∑ ∑
Het binomium van Newton
De uitwerking van de tweeterm (a + b)n voor willekeurige n є N.
Voor een geheel getal n ≥ 0 schrijven we
n! =1∙2∙…∙n als n є N (Spreek uit: n-faculteit)
=1 als n = 0
(n + 1)! = n! ∙ (n + 1)
Verder: ( )
( )
( ) ( )
De binomiaalformule van Newton:
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Suzanvaneijden. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 53068 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen