LKT WISKUNDE
(TWEEDEGRAADS)
2024
Voor iedereen die de LKT-wiskunde (tweedegraads) nog of weer moet doen; er is vrij weinig
oefenmateriaal te vinden.
In dit document heb ik 67 oefenopgaves verzameld. De opgaves zijn onderverdeeld in de vier
wiskundige domeinen (Algebra, Analyse (Calculus), Meetkunde en Statistiek). Per opgave wordt er
stilgestaan bij de begrippen, bewerkingen en theorieën achter de bewerking. Veel van de opgaves
wordt ook besproken in een uitgebreide YouTube serie. De links naar deze video’s wordt per opgave
gegeven, mocht je extra toelichting nodig hebben.
De Samenvatting sluit af met een LKT-quiz bestaande uit nog eens 39 oefenvragen waar je zelf mee
aan de slag kunt.
Succes met de voorbereiding en JA! De LKT-wiskunde is onnodig ingewikkeld en slecht neergezet dus
blijf je klachten vooral neerleggen bij jouw hogeschool en 10voordeleraar.
,Inhoudsopgave
Wiskundige symbolen om te onthouden................................................................................................ 5
DOMEIN ALGEBRA .................................................................................................................................. 6
Inleiding tot algebra ............................................................................................................................ 6
LKT-oefenvragen (domein Algebra) ........................................................................................................ 9
Opgave 1: Ongelijkheden .................................................................................................................... 9
Opgave 2: Rekenregels...................................................................................................................... 11
Opgave 3: Verzamelingenleer ........................................................................................................... 12
Opgave 4: Deelbaarheid.................................................................................................................... 13
Opgave 5: Getalsverzameling ........................................................................................................... 14
Opgave 6: Oneindige reeks ............................................................................................................... 15
Opgave 7: Limiet ............................................................................................................................... 16
Opgave 8: Getaltheorie ..................................................................................................................... 17
Opgave 9: Logica ............................................................................................................................... 18
Opgave 10: Rekenkundige rij ............................................................................................................ 18
Opgave 11: Complexe indeling ......................................................................................................... 19
Opgave 12: Complexe getallen ......................................................................................................... 21
Opgave 13: Recursie ......................................................................................................................... 22
Opgave 14: Absoluut kwadratisch .................................................................................................... 23
Opgave 15: Parabool ......................................................................................................................... 24
Opgave 16: Vergelijking .................................................................................................................... 25
Opgave 17: Geen oplossingen .......................................................................................................... 26
Opgave 18: Machten van x ............................................................................................................... 28
Opgave 19: Binair (I).......................................................................................................................... 29
Opgave 20: Binair (II)......................................................................................................................... 30
Opgave 20: Tweedegraads vergelijkingen ........................................................................................ 30
DOMEIN CALCULUS ............................................................................................................................... 32
Inleiding tot calculus ......................................................................................................................... 32
LKT-oefenvragen (domein Calculus) ..................................................................................................... 35
Opgave 21: Dalende functies ............................................................................................................ 35
Opgave 22: Riemannsommen ........................................................................................................... 36
Opgave 23: Sinus berekenen ............................................................................................................ 37
Opgave 24: Niveaulijnen ................................................................................................................... 38
Opgave 25: Differentie quotiënt ....................................................................................................... 39
Opgave 26: Afgeleide van samengestelde functies .......................................................................... 39
2
, Opgave 27: Integraal ......................................................................................................................... 41
Opgave 28: Oppervlakte grafiek ....................................................................................................... 42
Opgave 29: Logaritmes (I) ................................................................................................................. 43
Opgave 30: Logaritmes (II) ................................................................................................................ 43
Opgave 31: Derde afgeleide.............................................................................................................. 44
Opgave 32: Gemeenschappelijke periode ........................................................................................ 45
Opgave 33: Periode en bereik ........................................................................................................... 46
DOMEIN MEETKUNDE ........................................................................................................................... 47
Inleiding tot Meetkunde ................................................................................................................... 47
LKT-oefenvragen (domein Meetkunde) ................................................................................................ 48
Opgave 34: Goniometrische vergelijking en de eenheidscirkel ........................................................ 48
Opgave 35: Goniometrie en de Sinusfunctie .................................................................................... 49
Opgave 36: Periode in een functie berekenen ................................................................................. 50
Opgave 37: Oppervlakte driehoek .................................................................................................... 51
Opgave 38: Inproduct ....................................................................................................................... 52
Opgave 39: Hoogtelijnen en zwaartelijnen....................................................................................... 53
Opgave 40: Hoek berekenen............................................................................................................. 53
Opgave 41: Transformatie ................................................................................................................ 54
Opgave 42: Inverse domeinbereik .................................................................................................... 55
Opgave 43: Domeinbereik ................................................................................................................ 56
Opgave 44: Afstand puntvlak ............................................................................................................ 56
Opgave 45: Gelijkbenige driehoek .................................................................................................... 57
Opgave 46: Omschreven cirkel ......................................................................................................... 58
Opgave 47: Zwaartelijn en hoek ....................................................................................................... 58
Opgave 48: Berekenen hoeken ......................................................................................................... 59
Opgave 49: Blokkenbouwsel ............................................................................................................. 59
Opgave 50: Prisma ............................................................................................................................ 60
Opgave 51: Vierhoek ......................................................................................................................... 61
Opgave 52: Drie vlakken ................................................................................................................... 61
Opgave 53: Perspectief ..................................................................................................................... 62
Opgave 54: Doorsnede piramide ...................................................................................................... 62
Opgave 55: Constructie van de doorsnede ....................................................................................... 63
DOMEIN STATISTIEK .............................................................................................................................. 64
Inleiding tot statistiek ....................................................................................................................... 64
LKT-oefenvragen (domein Statistiek).................................................................................................... 64
Opgave 56: 4 x 4 code ....................................................................................................................... 64
3
, Opgave 57: Driehoek van Pascal ....................................................................................................... 65
Opgave 58: Verwachtingswaarde ..................................................................................................... 66
Opgave 59: Correlatie ....................................................................................................................... 67
Opgave 60: Boxplot ........................................................................................................................... 67
Opgave 61: Mediaan ......................................................................................................................... 68
Opgave 62: Werp een munt .............................................................................................................. 69
Opgave 63: Kans uit een tabel .......................................................................................................... 70
Opgave 64: Variantie......................................................................................................................... 70
Opgave 65: Standaarddeviatie .......................................................................................................... 72
Opgave 66: Richtingscoëfficiënt ....................................................................................................... 73
Opgave 67: Twee dobbelstenen ....................................................................................................... 73
LKT-quiz ................................................................................................................................................. 75
4
, Wiskundige symbolen om te onthouden
Verzamelingstheorie Wiskundige operaties Functienotaties
• ∈ = behoort tot • 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = verheffen tot de • 𝑓𝑓𝑓𝑓 = de functie van x
Bv: 3 ∈ {1,2,3,4} macht Bv: 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑥𝑥 2
• ∉ = behoort niet tot Bv: 23 = 8 • 𝑓𝑓′𝑥𝑥 = afgeleide van
Bv: 3 ∉{4,5,6,7} • √𝑥𝑥 = wortel trekken van Bv: 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓′𝑥𝑥 =
• ⊂ = een deelverzameling Bv: √9 = 3 2𝑥𝑥
van • log 𝑏𝑏 𝑥𝑥 = logaritme met • ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = onbepaalde
Bv: {1,2} ⊂ {1,2,3,4} basis b integraal van 𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑥𝑥 2
• ∪= vereniging van Bv: log 2 8 = 3 Bv: ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = + 𝐶𝐶
2
verzamelingen • |𝑥𝑥| = absolute waarde
Bv: {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3} Bv: |𝑥𝑥 − 5| = 5
• ∩ = doorsnede van • 𝑥𝑥! = faculteit
verzamelingen Bv: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
Bv: {1,2} ∩ {2,3} = {2} = 120
Goniometrie Limieten Reeksen en sommen
• sin(𝑥𝑥 ) = sinus van een • lim 𝑥𝑥 → 𝑐𝑐 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = limiet • ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 = som van termen
hoek 𝑥𝑥 van 𝑓𝑓(𝑥𝑥) als 𝑥𝑥 naar 𝑐𝑐 gaat 𝑎𝑎𝑖𝑖 van 𝑖𝑖 = 1 tot 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛
Bv: sin(90°) = 1 Bv: lim 𝑥𝑥 → 0
sin (𝑥𝑥)
=1 Bv: ∑4𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 = 1 + 2 + 3 +
𝑥𝑥
• cos(𝑥𝑥 ) = cosinus van een 4 = 10
• ∞= oneindig
hoek 𝑥𝑥 1 • ∏𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑎𝑎𝑖𝑖 = product van
Bv: sin(0°) = 1 Bv: lim 𝑥𝑥 → ∞ =0 termen 𝑎𝑎𝑖𝑖 van 𝑖𝑖 = 1 tot
𝑥𝑥
• tan(𝑥𝑥 ) = tangens van een 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛
hoek 𝑥𝑥 Bv: ∏4𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 = 1 × 2 ×
Bv: tan(45°) = 1 3 × 4 = 24
Logische symbolen Complexe getallen Speciale getallen
• ∀ = voor alle • 𝑖𝑖 = imaginaire eenheid, • 𝜋𝜋 = de verhouding van de
Bv. ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 2 ≥ 0 waarbij 𝑖𝑖 2 = −1 omtrek van een cirkel tot
• ∃ = er bestaat Bv. 𝑧𝑧 = 3 + 2𝑖𝑖 de diameter (pi = 3.14)
Bv. ∃𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 2 = 1 • 𝑧𝑧̅̿ = complex • 𝑒𝑒 = de basis van de
• ⇒ = impliceert geconjungeerde van 𝑧𝑧 natuurlijke logaritmen (=
Bv. 𝑥𝑥 = 2 ⇒ 𝑥𝑥 2 = 4 Bv. als 𝑧𝑧 = 3 + 2𝑖𝑖 dan �𝑧𝑧̅ = 2.71)
• ⇔ = als en slechts als 3 − 2𝑖𝑖
(equivalentie)
Bv. 𝑥𝑥 = 2 ⇔ 𝑥𝑥 2 = 4
5
, DOMEIN ALGEBRA
Inleiding tot algebra
Bij Algebra worden symbolen (variabelen) gebruikt om getallen te vertegenwoordigen. Deze worden
vervolgens gecombineerd met wiskundige bewerkingen, om vergelijkingen op te stellen en op te
lossen.
Variabelen vertegenwoordigen onbekende of veranderlijke waarden. Het doel van algebraïsche
vergelijkingen is deze waarde vinden.
Een algebraische vergelijking bestaat uit:
• Variabelen (x,y,a,b)
• Constanten (c)
• Bewerkingen (x, +, -, √)
Algebra kent enkele belangrijke eigenschappen die het oplossen van vergelijkingen vergemakkelen.
1. Cummulatieve eigenschap: De volgorde van optellen en vermenigvuldigen maakt niet uit.
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 → 3 + 5 = 5 + 3
2. Associatieve eigenschap: Groeperen van termen in een som of product verandert het resultaat
niet.
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ) → (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
(𝑎𝑎 × 𝑏𝑏) × 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 × (𝑏𝑏 × 𝑐𝑐) → (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
3. Distributieve eigenschap: Vermenigvuldiging kan over optellen en aftrekken verdeeld worden.
𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎
2(3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
Wanneer je te maken hebt met exponenten 𝑥𝑥 2 gelden een aantal basisregels
Productregel: Als je twee getallen met dezelfde basis vermenigvuldigd, tel je de exponenten bij
elkaar op.
𝑥𝑥 2 × 𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥 (2+3) = 𝑥𝑥 5
Quotientregel: Als je twee getallen met dezelfde basis deelt, trek je de exponenten van elkaar
af.
𝑥𝑥 5 : 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 (5−2) = 𝑥𝑥 3
Machten van machten: Als je een macht tot een andere macht verheft, vermenigvuldig je de
exponenten.
(𝑥𝑥 2 )ᶟ = 𝑥𝑥 (2×3) = 𝑥𝑥 6
6
,Je hebt in Algebra verschillende soorten vergelijkingen:
Lineaire vergelijking
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0
Deze los je op door
2𝑥𝑥 + 3 = 7
(−3) (−3)
2𝑥𝑥 = 4
(: 2) (: 2)
𝑥𝑥 = 2
Kwadratische vergelijkingen
𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0
𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = 0
Deze los je op door factorisatie
Stap 1: Herkennen van het kwadraat
In de vergelijking staat een volkomen kwadraat 𝑥𝑥 2 , daarom kan deze geschreven worden als
𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = (𝑥𝑥 − 2)²
Dit doe je door naar twee getallen te zoeken die optellen tot de coëfficiënt van x (in dit geval -4)
en vermenigvuldigen tot de constante (in dit geval 4). Deze getallen zijn -2 en 2 want:
−2 + (−2) = −4
en
−2 𝑥𝑥 − 2 = 4
Nu kunnen we de vergelijking herschrijven als een product van lineaire factoren.
𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = (𝑥𝑥 − 2) × (𝑥𝑥 − 2) = (𝑥𝑥 − 2)²
Stap 2: Stel het kwadraat gelijk aan 0
(𝑥𝑥 − 2)2 = 0
Nu kun je uit beide zijdes de vierkantswortel trekken.
�√� (√)
𝑥𝑥 − 2 = 0
(+2) (+2)
𝑥𝑥 = 2
Factorisatie kan een lastige bewerking zijn. Daarom staan we stil bij nog een voorbeeld. Neem de
vergelijking:
𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0
We willen deze vergelijking in een andere vorm gieten (het product van factoren) waardoor deze er
uit komt te zien als:
(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) = 0
7
,We gaan weer opzoek naar twee getallen die
Opgeteld gelijk is aan 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (gelijk aan de coëfficiënt van x)
Vermenigvuldigd gelijk is aan 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 (gelijk aan de constante)
De getallen die hierbij horen zijn 2 en 3.
2 + 3 = 5
2 × 3 = 6
Nu kun je het product van factoren invullen:
(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) = 0
Volgens de nulregel is een product gelijk aan nul als één van de factoren nul is. Dus:
𝑥𝑥 + 2 = 0 en 𝑥𝑥 + 3 = 0
Door beide vergelijkingen op te lossen, dus:
𝑥𝑥 + 2 = 0 → −2 + 2 = 0
en
𝑥𝑥 + 3 = 0 → −3 + 3 = 0
De oplossingen voor de vergelijking 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0 is dus
𝑥𝑥 = −2
𝑥𝑥 = −3
8
, LKT-oefenvragen (domein Algebra)
Opgave 1: Ongelijkheden (https://youtu.be/KA6bBuoGLbc?si=GgG34XFKLPTz1M7h)
Bij vergelijkingen heb je een vaste oplossing. Bij ongelijkheden spreken we over een gebied aan
oplossingen. Dit wordt veroorzaakt door de relatie tussen twee uitdrukkingen, waarbij één
uitdrukking groter of kleiner is. Het oplossingsgebied is gelijk aan het deel boven 𝑦𝑦 > 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 en
onder 𝑦𝑦 < 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏
Voorbeelden van ongelijkheden zijn:
3𝑥𝑥 − 5 < 7
en
𝑥𝑥 + 2 ≥ 4
Een ongelijkheid kun je oplossen door deze om te zetten naar een lineaire vergelijking. De
ongelijkheid wordt eerst herschreven en vervolgens gebruiken we de grafieken om het
oplossingsgebied te bepalen.
In de opgave wordt de volgende ongelijkheid gegeven:
−3 < 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 < 1
De ongelijkheid kan worden omgezet in twee afzonderlijke ongelijkheden, die we allebei gaan
oplossen:
−3 < 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦
en
4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 < 1
Het oplossen doe je door ‘y vrij te maken’.
−3 < 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 wordt herschreven als;
4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 > −3
(−4𝑥𝑥) (−4𝑥𝑥)
3𝑦𝑦 > −4𝑥𝑥 − 3
(: −3) (: −3)
9
, Wanneer je deelt door een negatief getal, draait de ongelijkheid om (!)
4𝑥𝑥 + 3
𝑦𝑦 <
3
We doen hetzelfde voor de tweede ongelijkheid :
4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 < 1
(−4𝑥𝑥) (−4𝑥𝑥)
−3𝑦𝑦 < −4𝑥𝑥 + 1
(: −3) (: −3)
4𝑥𝑥 − 1
𝑦𝑦 >
3
Nu komt er een nieuwe ongelijkheid tot stand, waarbij y is vrijgespeeld:
4𝑥𝑥 − 1 4𝑥𝑥 + 3
< 𝑦𝑦 <
3 3
Deze beschrijft het gebied tussen de twee lijnen in de grafiek. Om te kijken welke grafiek het juiste
gebied arceert kunnen we voor 𝑥𝑥 de oorsprong (0) invullen zodat we de grenzen van y kunnen
bepalen op 𝑥𝑥 = 0. Dat zorgt ervoor dat we de grafieken kunnen vergelijken en de juiste kunnen
kiezen.
4(0) − 1 4(0) + 3
< 𝑦𝑦 <
3 3
−1 3
< 𝑦𝑦 <
3 3
−1
< 𝑦𝑦 < 1
3
De enige juist grafiek die hier bij hoort is grafiek B.
Om nog een keer te oefenen met ongelijkheden; los de volgende ongelijkheid op:
|𝑥𝑥 2 − 2| < 2
a) 𝑥𝑥 < −2√𝑥𝑥 > 2
b) −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2
c) 𝑥𝑥 ∈< −2,2 >\{0}
d) 𝑥𝑥 ≠ 0
De ongelijkheid geeft aan dat x niet groter dan 2 kan zijn, en niet lager dan -2. De absolute waarde
|𝑥𝑥| betekent de afstand van x tot nul op de getallenlijn. Het bereik van 𝑥𝑥 moet dus binnen het bereik
van twee eenheden van 0 liggen. Daardoor kun je de ongelijkheid herschrijven als:
−2 < 𝑥𝑥 2 − 2 < 2
10
