Tentamen (uitwerkingen)
SOLUTION MANUAL Game Theory Basics 1st Edition By Bernhard von Stengel. Chapters 1 - 12
- Vak
- Instelling
SOLUTION MANUAL Game Theory Basics 1st Edition By Bernhard von Stengel. Chapters 1 - 12
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 69 pagina's
Voorbeeld 4 van de 69 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Futurenurses
Voorbeeld van de inhoud
SOLUTION MANUALGame Theory Basics 1st Edition
By Bernhard von Stengel. Chapters 1 - 12
1
,TABLE OF CONTENTS m m m
1 - Nim and Combinatorial Games
m m m m m
2 - Congestion Games
m m m
3 - Games in Strategic Form
m m m m m
4 - Game Trees with Perfect Information
m m m m m m
5 - Expected Utility
m m m
6 - Mixed Equilibrium
m m m
7 - Brouwer’s Fixed-Point Theorem
m m m m
8 - Zero-Sum Games
m m m
9 - Geometry of Equilibria in Bimatrix Games
m m m m m m m
10 - Game Trees with Imperfect Information
m m m m m m
11 - Bargaining
m m
12 - Correlated Equilibrium
m m m
2
,Game Theory Basics
m m
Solutions to Exercises
m m
©m BernhardmvonmStengelm2022
SolutionmtomExercisem1.1
(a) Letm≤mbemdefinedmbym(1.7).m Tomshowmthatm≤mismtransitive,mconsidermx,my,mzmwithmxm ≤mymandmym≤mz.mIf
mxm=mymthenmxm≤mz,mandmifmym=mzmthenmalsomxm≤mz.mSomthemonlymcasemleftmismxm<mymandm ym <m z,mwhic
hmimpliesmxm <m zmbecausem<mismtransitive,mandmhencemxm ≤mz.
Clearly,m≤mismreflexivembecausemxm=mxmandmthereforemxm≤mx.
Tomshowmthatmmmmm
≤ ismantisymmetric,mconsidermxmandmymwithmxmmmmmym≤andmymmmmmx.m≤Ifmwemhadmxm≠my
mthenmxm<mymandmym<mx,mandmbymtransitivitymxm<mxmwhichmcontradictsm(1.38).mHencemxm =m y,masmre
quired.m Thismshowsmthatm≤mismampartialmorder.
Finally,mwemshowm(1.6),msomwemhavemtomshowmthatmxm<mymimpliesmxmmmymand≤ mxm≠mymandmvicemversa
.mLetmxm<my,mwhichmimpliesmxmymbym(1.7).mIfmwem≤ hadmxm=mymthenmxm<mx,mcontradictingm(1.38),msomw
emalsomhavemxm≠my.m Conversely,mxmmm ymandmxm≠mymimplymbym(1.7)mxm <≤m ymorm xm =m ymwheremthemsecond
mcasemismexcluded,mhencem xm <m y,masmrequired.
(b) Considermampartialmordermand ≤massumem(1.6)masmamdefinitionmofm<.mTomshowmthatm<mismtransitiv
e,msupposemxm<my,mthatmis,mxmymandmxm≠my,≤mandmym<mz,mthatmis,mymzmandmym≠mz.mBecausemmmmismtransit
≤
ive,mxmmmmz.≤
mIfmwemhadmxm=mzmthenmxmmmmmymandmymmmmmxmandmhencemxm=mymbymantisymmetrymofmmmm,m
≤ ≤ ≤
whichmcontradictsm xm ≠m y,msomwemhavem xmmmmzmandm xm ≠m z,mthatmis,mxm <m zmbym(1.6),masmrequired.
≤ ≤
Also,m<mismirreflexive,mbecausemxm<mxmwouldmbymdefinitionmmeanmxmmmxmandm≤xm≠mx,mbutmthemlatter
mismnotmtrue.
Finally,mwemshowm(1.7),msomwemhavemtomshowmthatmxm ≤mymimpliesmxm<mymormxm=mymandmvicemversa,
mgivenmthatm<mismdefinedmbym(1.6).mLetmxm≤my.mThenmifmxm=my,mwemaremdone,motherwisemxm≠mymand
mthenmbymdefinitionmxm<my.mHence,mxm≤mymimpliesmxm<mymormxm=my.mConversely,msupposemxm <m ymor
mxm=my.m Ifmxm <m ymthenmxm ≤mymbym(1.6),mandmifmxm=mymthenmxm ≤m ymbecausem ≤mismreflexive.m Thismco
mpletesmthemproof.
SolutionmtomExercisem1.2
(a) Inm analysingm them gamesm ofm threem Nimm heapsm wherem onem heapm hasm sizem one,m wem firstm lookmatmso
memexamples,mandmthenmusemmathematicalminductionmtomprovemwhatmwemconjecturemtombemthemlosin
gmpositions.mAmlosingmpositionmismonemwheremeverymmovemismtomamwinningmposition,mbecausemth
enmthemopponentmwillmwin.m Thempointmofmthismexercisemismtomformulatemamprecisemstatementmtomb
emproved,mandmthenmtomprovemit.
First,mifmtheremaremonlymtwomheapsmrecallmthatmtheymaremlosingmifmandmonlymifmthemheapsmaremof
mequalmsize.m Ifmtheymaremofmunequalmsize,mthenmthemwinningmmovemismtomreducemthem largermheap
msomthatmbothmheapsmhavemequalmsize.
3
, Considermthreemheapsmofmsizesm1,mm,mn,mwherem1mmmmmm≤mmmmmn. ≤mWemobservemthemfollowing:m1,m1,m
mmismwinning,mbymmovingmtom1,m1,m0.mSimilarly,m1,mm,mmmismwinning,mbymmovingmtom0,mm,mm.mN
ext,m1,m2,m3mismlosingm(observedmearlierminmthemlecture),mandmhencem1,m2,mnmformnm4mismwinning.
m1,m3,mnmismwinningmformanymnm3mbymmovingmtom1,m3,m2.mForm1,m4,m5,mreducingmanymheapmprodu
≥ ≥
cesmamwinningmposition,msomthismismlosing.
Themgeneralmpatternmformthemlosingmpositionsmthusmseemsmtombe:m1,mm,mmm1,mform+evenmnumber
smm.m Thismincludesmalsomthemcasemmm=m0,mwhichmwemcanmtakemasmthembasemcasemformanminduction
.m Wemnowmproceedmtomprovemthismformally.
Firstmwemshowmthatmifmthempositionsmofmthemformm1,mm,mnmwithmmmmmmmmnm≤aremlosingmwhenmmmisme
venmandmnm=mmm1,mthenm+ thesemaremthemonlymlosingmpositionsmbecausemanymothermpositionm1,mm,m
nm withmmm m nm ismwinning.m ≤ Namely,mifmmm =mnm thenmamwinningmmovemfromm1,mm,mmmismtom0,mm,mm,m
somwemcanmassumemmm<mn.m Ifmmmismevenmthenmnm>mmm m 1m(otherwisemwemwouldmbeminmthempositionm
+
1,mm,mmm m 1)mandmsomthemwinningmmovemismtom1,mm,mmm m 1.mIfmmmismoddmthenmthemwinningmmovemi
+ +
smtom1,mm,mmm1,mthemsamemasmpositionm1,mmm1,mmm(thismwouldm alsom bem am winningm movem fromm 1,mm,m
mm som therem them winningm movem ism notm unique). – −
Second,mwemshowmthatmanymmovemfromm1,mm,mmm+m1mwithmevenmmmismtomamwinningmposition,musingm
asminductivemhypothesismthatm1,mmJ,mmJm+m1mformevenmmJmandmmJm<mmmismamlosingmposition.mThem
movemtom0,mm,mmm+m1mproducesmamwinningmpositionmwithmcounter-
movemtom0,mm,mm.mAmmovemtom1,mmJ,mmm+m1mformmJm<mmmismtomamwinningmpositionmwithmthemcounter-
movemtom1,mmJ,mmJm+m1mifmmJmismevenmandmtom1,mmJ,mmJm−m1mifmmJmismodd.mAmmovemtom1,mm,mmmismt
omamwinningmpositionmwithmcounter-
movemtom0,mm,mm.mAmmovemtom1,mm,mmJmwithm mJm<m mmismalsomtomamwinningmpositionmwithmthemcount
er-
movemtom1,mmJm−m1,mmJmifm mJmismodd,mandmtom1,mmJm 1,mmJmifmmJmismevenm(inmwhichmcasemmJm 1m<mmm
+ mconcludesmtheminductionmproof.
becausemmmismeven).mThis +
ThismresultmisminmagreementmwithmthemtheoremmonmNimmheapmsizesmrepresentedmasmsumsmofmpowers
0
mofm2:m 1m m mm m nmismlosingmifmandmonlymif,mexceptmform2 ,mthempowersmofm2mmakingmupmmmandmnmco
∗m +∗ +∗
meminmpairs.mSomthesemmustmbemthemsamempowersmofm2,mexceptmform1m=m20,mwhichmoccursminmonlym
mmormn,mwheremwemhavemassumedmthatmnmismthemlargermnumber,msom1mappearsminm them representatio
nm ofm n:m Wem havem mm =m 2ammmmmm2bmmmmmm2c
+ + +m ·m ·m ·
form am >m bm >m cm >mmmmmmmm 1,mso
a b·mm ·+
mm ·mm ≥c + +m ·m ·m ·m + +
m mm ism even,m and,m withm them samem a,mb, mc, m.m. m.,m nm =m 2 2 2 1m =m mmmmm 1.m Then
m m m
∗1mmmmmmm
+m ∗ m+mmmmm
m∗ nmmmmmm 0.m Them followingm ism anmexamplem usingm them bitmrepresentationmwhere
mm=m12m(which
≡m∗ mdeterminesmthembitmpatternm1100,mwhichmofmcoursemdependsmonmm):
1 = 0001
12 = 1100
13 = 1101
Nim-sum 0 = 0000
(b) Wemusem(a).mClearly,m1,m2,m3mismlosingmasmshownminm(1.2),mandmbecausemthemNim-
summofmthembinarymrepresentationsm01,m10,m11mism00.mExamplesmshowmthatmanymothermpositio
nmismwinning.mThemthreemnumbersmaremn,mnm+1,mnm m+2.mIfmnmismevenmthenmreducingmthemheapmofmsize
mnm2mtom1mcreatesmthempositionmn,mnm 1,m1mwhichmismlosingmasmshownminm(a).mIfmnmismodd,mthenm
+ +
nm 1mismevenmandmnmmm2m=m nmmm1mmm1msombymthemsamemargument,mamwinningmmovemismtomreduce
+ +
mthemNimmheapmofmsizemnmtom1m(whichmonlymworksmifmnm >m1).
(m +m )m+
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Futurenurses. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €16,74. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 78600 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen