Samenvatting
Samenvatting VWO Wiskunde A (alle examenstof)
- Vak
- Wiskunde A
- Niveau
- VWO / Gymnasium
Dit is alle stof voor het eindexamen voor vwo wiskunde a
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 13 pagina's
Voorbeeld 4 van de 13 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
9 beoordelingen
Door: huub199279 • 7 maanden geleden
Door: mugekayaalp15 • 1 jaar geleden
Door: grevenanna • 1 jaar geleden
Door: reuscorien • 2 jaar geleden
Door: ktervoort • 2 jaar geleden
Door: ilsesterke2004 • 2 jaar geleden
Door: giulia1 • 3 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
Voorrangregels Voorbeeld Rekenregels voor machten Voorbeeld 15 − (2 × 42 − 8 + 2 × 6) 23 × 22 = 23+2 = 25
1. Haakjes = 5 − (2 × 16 − 8 + 2 × 6) - 𝑎𝑝 × 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞
2. Machten en wortels = 5 − (32 − 8 + 12) Voorbeeld 2
3. Vermenigvuldigen en delen = 5 − (36) 𝑎𝑝
= 𝑎𝑝−𝑞 25
-
𝑎𝑞
= 25−2 = 23
4. Optellen en aftrekken = −31 22
- (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝×𝑞 Voorbeeld 3
Haakjes wegwerken Voorbeeld 1 (23 )2 = 23×2 = 26
0
- 𝑎 =1
3𝑥(2 + 3𝑥) = 6𝑥 + 9𝑥 2
Voorbeeld 4
- 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 1
Voorbeeld 2 - 𝑎−𝑝 = 70 = 1
𝑎𝑝
- (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 + 𝐵𝑦 (3 + 𝑥)(2 − 𝑥) = 3 × 2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 2 = 6 − 𝑥 − 𝑥 2
- (𝑎𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 𝑏 𝑝 Voorbeeld 5
1 3 1 3×1 3
Voorbeeld 3 3 × 2−𝑥 = 3 × = × = =
2𝑥 1 2𝑥 1×2𝑥 2𝑥
(1 + 𝑥) 2 = (1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = 1 + 2𝑥 + 𝑥 2
Voorbeeld 6
(5𝑥)2 = 52 ⋅ 𝑥 2
Breuken optellen Voorbeeld 1
1 1 1×5 4×1 5 4 9
+ = + = + =
1 1 1×𝐵 𝐴×1 𝐵+𝐴 4 5 4×5 4×5 20 20 20
- + = + = Machten en wortels
𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 𝐴 ×𝐵 𝐴𝐵
Voorbeeld 2 1
1 1 𝐴 1+𝐴 1 1 4 5 𝑞 met 𝑎 > 0
- +1 = + = +1= + = - √𝑎 = 𝑎𝑞
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 4 4 4 4
- √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 met 𝑎 ≥ 0 en 𝑏 ≥ 0
𝐶 𝐷 𝐶×𝐵 𝐴×𝐷 𝐶𝐵+𝐴𝐷 Voorbeeld 3
- 𝐴
+ 𝐵 = 𝐴×𝐵 + 𝐴×𝐵 = 𝐴𝐵 2 3 2×6 5×3 12 15 27
5
+ 6 = 5×6 + 5×6 = 30 + 30 = 30 𝑎 √𝑎 met 𝑎 ≥ 0 en 𝑏 > 0
- √𝑏 = √𝑏
- √𝑎 + 𝑏 met 𝑎 + 𝑏 ≥ 0
Breuken vermenigvuldigen Voorbeeld 1
1 5 1 5×1 5
5 × 4 = 1 × 4 = 1×4 = 4
-
𝐵
𝐴 ×𝐶 =1×𝐶 =
𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 Wortelvergelijkingen Voorbeeld
𝐶
Voorbeeld 2 √𝑥 + 2 = 𝑥
𝐴 𝐵 𝐴×𝐵 2 3 2×3 6 1 1. Isoleer de wortel
- × 𝐶 = 𝐷×𝐶 × 6 = 5×6 = 30 = 5 2. Kwadrateer beide kanten
𝐷 5 1. √𝑥 = 𝑥 − 2
3. Los op 2. 𝑥 = (𝑥 − 2)2 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
4. Controleer op oplossingen die niet voldoen 3. 0 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 4
Breuken delen → delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde 0 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
𝑥 = 1∨𝑥 = 4
𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 𝐴×𝐶
- 𝐵 =𝐴 ×𝐵=1×𝐵= Voorbeeld 4. 𝑥 = 1 voldoet niet!
(𝐶) 𝐵 5 4 5 4 5×4 20
1 = 5 × 1 = 1 × 1 = 1×1 = 1 = 20
(4)
Oplossen van vergelijkingen Voorbeeld
2
8 + 𝑥 = 16 + 3 𝑥
Breuken vereenvoudigen Voorbeeld 1. Werk zoveel mogelijk breuken en haakjes weg
12 3×4 4
= = 2. De onbekende naar links, de getallen naar rechts 2
-
𝐴×𝐵
=
𝐵 15 3×5 5 2. 𝑥 − 3 𝑥 = 16 − 8
𝐴×𝐶 𝐶
3. Uitrekenen wat je overhoudt
1
4. Delen door het getal dat voor de onbekende staat 3. 𝑥=8
3
8
4. 𝑥= 1 = 8 × 3 = 24
3
Algemene vormen van vergelijkingen
- 𝐴×𝐵 = 0 Dan 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0
𝐴
- =0 Dan 𝐴 = 0 en 𝐵 ≠ 0
𝐵
- 𝐴×𝐵 = 𝐴 ×𝐶 Dan 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶
𝐴
- =𝐶 Dan 𝐴 = 𝐵 × 𝐶 en 𝐵 ≠ 0
𝐵
- 𝐴2 = 𝐵2 Dan 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = −𝐵
𝐴 𝐶
- =𝐷 Dan 𝐴 × 𝐷 = 𝐵 × 𝐶
𝐵
,Substitueren → vervangen van een getal of uitdrukking Machtsfuncties
- 𝑇 = 7𝑉 + 4 − 5𝑊 Substitueren geeft Functies van de vorm 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 met 𝑛 een geheel getal
met 𝑉 = 2 en 𝑊 = 3 𝑇 = 7×2+4−5×3 = 3
- 𝑂𝑚𝑧𝑒𝑡 = 𝑝𝑟𝑖𝑗𝑠 × ℎ𝑜𝑒𝑣𝑒𝑒𝑙ℎ𝑒𝑖𝑑 = 𝑝 × 𝑞 Substitueren geeft
met 𝑞 = −2𝑝 + 10 𝑂𝑚𝑧𝑒𝑡 = 𝑝 × (−2𝑝 + 10) = −2𝑝2 + 10𝑝
Formules optellen en aftrekken Voorbeeld
Gegeven zijn de formules −6𝑥 + 3𝑦1 = 36 en 24𝑥 + 3𝑦2 = 15
1. Maak de juiste variabelen vrij Bereken het verschil 𝑦1 − 𝑦2
2. Bereken de som of het verschil door te substitueren
→ maak gebruik van haakjes 1. −6𝑥 + 3𝑦1 = 36 24𝑥 + 3𝑦2 = 15
3𝑦1 = 36 + 6𝑥 3𝑦2 = 15 − 24𝑥
𝑦1 = 12 + 2𝑥 𝑦2 = 5 − 8𝑥
2. 𝑦1 − 𝑦2 = (12 + 2𝑥) − (5 − 8𝑥) = 10𝑥 + 7
Functies
- Tweedegraads functies 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Met 𝑎 ≠ 0
(kwadratische functies)
- Hogeremachts functies 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 Met 𝑎 ≠ 0
𝑎
- Gebroken functie 𝑏(𝑥) = 𝑎𝑥 −1 = 𝑥 Met 𝑥 ≠ 0
Functies van de vorm 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 met 𝑎 > 0
1
- Wortelfuncties 𝑤(𝑥) = √𝑎𝑥 = (𝑎𝑥) 2
Met 𝑎𝑥 ≥ 0
Eigenschappen
𝑡
𝑛 even 𝑛 oneven
- Exponentiële functies 𝐸(𝑡) = 𝑏 ⋅ 𝑔 Met 𝑔 > 0 en 𝑔 ≠ 1 𝑛>1 Domein: alle waarden voor 𝑥 Domein: alle waarden voor 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 Bereik: 𝑦 ≥ 𝑏 Bereik: alle waarden voor 𝑦
- Logaritmische functies 𝐿(𝑥) = 𝑔log(𝑥) Met 𝑥 > 0 𝑛 ≤ −1 Domein: alle waarden voor 𝑥 ≠ 0 Domein: alle waarden voor 𝑥 ≠ 0
𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 −1 + 𝑏 = + 𝑏 Bereik: 𝑦 > 𝑏 Bereik: alle waarden voor 𝑦 ≠ 𝑏
𝑥
Asymptoot: verticaal 𝑥 = 0 Asymptoot: verticaal 𝑥 = 0
Begrippen horizontaal 𝑦 = 𝑏 horizontaal 𝑦 = 𝑏
- Domein: alle waarden die ingevuld mogen worden voor 𝑥
- Bereik: alle waarden die uit de formule kunnen komen voor 𝑦
Wortelfuncties
- Asymptoot: een lijn waar de grafiek steeds dichterbij komt
Functies van de vorm 𝑓(𝑥) = √𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 met 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
- De grafiek zal de asymptoot nooit raken of snijden
- Horizontale asymptoot: 𝑦 = ⋯
- Verticale asymptoot: 𝑥 = ⋯
Eigenschappen
Tweedegraads functie Voorbeeld 𝑏
- Domein: 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 → 𝑥 ≥ − 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 met 𝑎 ≠ 0 𝑥 -2 -1 0 1 2 3 4 - Bereik: 𝑦≥𝑐
𝑓(𝑥) 4 1 0 1 4 9 16
Eigenschappen Verschil -3 -1 1 3 5 7
- Domein: alle waarden voor 𝑥 opeenvolgende
- Bereik: bereken hiervoor de top 𝑦-waarden
- Asymptoot: de lijn waar de grafiek dichtbij komt Verschil 2 2 2 2 2
- Symmetrie: de functie heeft een symmetrie-as door de top opeenvolgende
verschillen
,Exponentiële functies Lineaire formule → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Voorbeeld
Functies van de vorm 𝐸(𝑡) = 𝑏 ⋅ 𝑔𝑡 met 𝑏 ≠ 0, 𝑔 > 0 en 𝑔 ≠ 1 1. Schrijf de lineaire formule 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 op
2. Bepaal twee punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 )
Δ𝑦 𝑦 −𝑦
3. Bereken 𝑎 met 𝑎 = = 2 1
Δ𝑥 𝑥2−𝑥1
4. Bereken 𝑏 door een punt in te vullen
5. Schrijf de formule in zijn geheel op
1. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1 1
2. (𝑥1 , 𝑦1 ) = (−1, 7 ) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (3, 1 )
Eigenschappen 2
1 1
2
Δ𝑦 𝑦 −𝑦 12−72 −6 1
- Domein: alle waarden voor 𝑥 3. 𝑎 = Δ𝑥 = 𝑥2−𝑥1 = = = −1 2
3−−1 4
- Bereik: 𝑦 > 0 als 𝑏 positief 2 1
1 1
𝑦 < 0 als 𝑏 negatief 4. (𝑥1 , 𝑦1 ) invullen geeft 7 = −1 ⋅ −1 + 𝑏 → 𝑏 = 6
2 2
1
- Asymptoot: de horizontale lijn 𝑦 = 0 5. 𝑦 = −1 𝑥 + 6
2
Voorbeeld
Exponentiële formule → 𝐸 = 𝑏 ⋅ 𝑔𝑡 Voorbeeld
𝑡 0 1 2 3 4
𝐸(𝑡) 400 712 1270 2260 4020 1. Schrijf de exponentiële formule 𝐸 = 𝑏 ⋅ 𝑔 op 𝑡
2. Bepaal twee punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 )
𝐸(𝑡+1) 𝑛𝑖𝑒𝑢𝑤
Groeifactor 𝑔 bereken je door = 3. Bepaal de groeifactor 𝑔 per juiste stap
𝐸(𝑡) 𝑜𝑢𝑑
𝐸(1) 712 𝐸(2) 1270 𝐸(3) 2260 4. Bereken begingetal 𝑏 door een punt in te vullen
Hieruit volgt: 𝑔 = 𝐸(0) = 400 ≈ 1,78 𝑔 = 𝐸(1) = ≈ 1,78 𝑔 = 𝐸(4) = 1270 ≈ 1,78
712 5. Schrijf de formule in zijn geheel op
De groeifactor kun je op twee manieren bepalen, met
Logaritmische functies 1. Een tabel of twee punten:
𝑛𝑖𝑒𝑢𝑤
𝑔 = 𝑜𝑢𝑑
𝑔𝑟𝑜𝑒𝑖𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒
Functie van de vorm 𝐿(𝑥) = 𝑔log(𝑥) 2. De groeipercentage: 𝑔 =1+
100
Bepaal altijd de groeifactor per 1 tijdseenheid. Om van 𝑘
1
tijdseenheden naar 1 tijdseenheid te gaan, neem je 𝑔𝑘 .
Stijgende lijn als 𝑔 > 1
Dalende lijn als 0 < 𝑔 < 1
Beiden gaan door het punt (1,0) 1. 𝐸 = 𝑏 ⋅ 𝑔𝑡
2. (𝑥1 , 𝑦1 ) = (1,4) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (3,1)
Eigenschappen 𝑛𝑖𝑒𝑢𝑤 1
3. Groeifactor 𝑔 per 2 tijdseenheden: 𝑔 = 𝑜𝑢𝑑 = 4
- Domein: 𝑥>0 1
1 2 1
- Bereik: alle waarden voor 𝑦 Groeifactor 𝑔 per 1 tijdseenheid: 𝑔=( ) =
4 2
- Asymptoot: verticale lijn 𝑥 = 0 1 1
4. (𝑥1 , 𝑦1 ) invullen geeft 4 = 𝑏 ⋅ ( ) → 𝑏 = 8
2
1 𝑡
5. 𝐸 = 8 ⋅ (2)
, Translatie → verschuiven Snijpunten van twee grafieken → oplossen van de vergelijking 𝑦1 = 𝑦2
Los op → Maak gebruik van je GR en optie Intersect.
Algebraïsch → Zonder rekenmachine tot de laatste stap
Exact → Helemaal zonder rekenmachine. Laat wortels, logaritmes e.d. staan en rond niet af.
Horizontaal verschuiven
Naar rechts: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) Ontbinden in factoren
Naar links: 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)
Buiten haakjes halen: 𝑥 2 − 6𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 − 6) = 0
Product-som methode: 𝑥 2 − 9𝑥 + 8 = 0 → (𝑥 − 1)(𝑥 − 8) = 0
ABC formule
Functie van de vorm 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 met 𝑎 ≠ 0
Verticaal verschuiven
1. Bepaal de discriminant 𝐷 = 𝑏 2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐
−𝑏±√𝐷
Naar boven: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 2. Bepaal 𝑥 = 2⋅𝑎
Naar beneden: 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐
Het aantal oplossingen
- 𝐷<0 Geen oplossingen (want negatieve wortel bestaat niet)
- 𝐷=0 1 oplossing
- 𝐷>0 2 oplossingen
Rekken Exponentiële vergelijking Voorbeeld 1
2𝑥 = 8
1. Herschrijf naar de vorm 𝑥
𝑎 =𝑏 𝑥 = 2log(8) = 3
2. Los op 𝑥 = 𝑎log(𝑏)
Voorbeeld 2
Als er staat ‘los exact op’ dan is 𝑥 = 𝑎log(𝑏) het antwoord. 2𝑥 = 9
𝑥 = 2log(9)
𝑎 log(𝑏)
Vermenigvuldigen t.o.v. de 𝑥-as met 𝑎: 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑓(𝑥) log(𝑏) is gelijk aan log(𝑎)
Voorbeeld 3
50 + 5 ⋅ 22𝑥−2 = 100
5 ⋅ 22𝑥−2 = 50
22𝑥−2 = 10
22𝑥 ⋅ 2−2 = 10
22𝑥 = 40
(22 ) 𝑥 = 40
4𝑥 = 40
𝑥 = 4log(40)
Rekenregels voor logaritmes Voorbeeld 1
1 2
Vermenigvuldigen t.o.v. de 𝑦-as met 𝑎: 𝑦 = 𝑓 (𝑎 ⋅ 𝑥) log(8) + 2log(4) = 2log(8 ⋅ 4) = 2log(32)
𝑔 𝑔 𝑔
- log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎 ⋅ 𝑏)
Voorbeeld 2
𝑔 𝑎 8
- log(𝑎) − 𝑔log(𝑏) = 𝑔log (𝑏 ) 2
log(8) − 2log(4) = 2log (4) = 2log(2)
- 𝑛 ⋅ 𝑔log(𝑎) = 𝑔log(𝑎𝑛 ) Voorbeeld 3
3 ⋅ 2log(8) = 2log(83 )
𝑝
𝑔 log(𝑎)
Spiegelen → Vermenigvuldigen t.o.v de 𝑥-as met een 𝑎 < 0 - log(𝑎) = 𝑝
Voorbeeld 4
log(𝑔)
2log(64)
4
log(64) = 2log(4)
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper ek99. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 84866 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen