Tentamen (uitwerkingen)
CS/MATH 1019 Discrete Math for Computer Science SC MATH 1019B Final Exam Review Questions and Answers
- Vak
- Instelling
CS/MATH 1019 Discrete Math for Computer Science
[Meer zien]Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
Voorbeeld 1 van de 1 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
YourAssignmentHandlers
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
SC/MATH 10 19B - HOMEW OR K 2DUE OCTOB ER 23, 2024
Solutions to the problems below must be brought to class on October,23 2018. Solu-
tions may by typed or neatly hand written. You must clearly indicate which problem
you are solving. All solutions must be fully justified.
# 1.
(a) Given an example of a function f : N → N which is injective but not
surjective.
(a) Given an example of a function g : N → N which is surjective but not
injective.
An example of an injective but not surjective function is f : N → N by f (n) = n+5.
If f (n1) = f (n2), then n1 + 5 = n2 + 5 and so n1 = n2. Therefore f is injective.
To see that f is not surjective consider 1 ∈ N (the codomain). If f (n) = 1,
then n + 5 = 1 and n = −4. However, −4 /∈ N (the domain) so f is not
surjective.
An example of a surjective but not injective function is g : N → N by g(n) =
[n/2♩. Indeed for any n ∈ N (the codomain) take 2n ∈ N (the domain) and
g(2n) = n. The function g is not injective since g(2) = 1 = g(3) but 2 /= 3.
# 2. Let A, B, and C be nonempty sets. Let f : A → B and g : B → C be
functions. Show that if g ◦ f is one-to-one, then f must be one-to-one. Is it
true that g must also be one-to-one?
Let us use proof by contrapositive. Assume that f is not one-to-one. Then there
exists a1, a2 ∈ A with a1 /= a2 such that f (a1) = f (a2). This means
(g ◦ f )(a1) = g(f (a1)) = g(f (a2)) = (g ◦ f )(a2)
and g ◦ f is not one-to-one.
To see an example where g ◦ f is one-to-one, but that g is not one-to-one tkae
A = {0}, B = Z, and C = {0} with f (0) = 0 and g(n) = 0 for n ∈ Z. Then g is
not one-to-one since g(0) = 0 = g(1), but g ◦ f : {0} → {0} is one-to-one.
# 3. Solve the recurrence relation given by a1 = 2 and an = 2nan−1 for n > 1.
We claim that an = 2nn!. Indeed a1 = 2 = 211!. Assume that an = 2nn! for some
n ≥ 1, then
an+1 = 2(n + 1)an = 2n(2nn!) = 2n+1(n + 1)!.
1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper YourAssignmentHandlers. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €14,74. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 73918 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
Laatst bekeken door jou
