Samenvatting
Samenvatting Uitwerkingen Moderne wiskunde AC vwo h18
- Vak
- Wiskunde A
- Niveau
- VWO / Gymnasium
Uitwerkingen van Moderne wiskunde AC, vwo hoofdstuk 18. Geschreven door moderne wiskunde
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 31 pagina's
Voorbeeld 4 van de 31 pagina's
In winkelwagengesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
Voorbeeld van de inhoud
18 Periodieke functiesVoorkennis
V1 a Eén ademhaling duurt 5 seconden.
b Er zit minimaal 1 liter en maximaal 4 liter lucht in de longen.
c Er zit gemiddeld 2,5 liter lucht in de longen en de maximale afwijking ten
opzichte van dit gemiddelde is 1,5 liter.
V2 a Grafiek 1:
evenwichtsstand: (4 + −2) : 2 = 1
amplitude: 4 − 1 = 3
periode: 1 − −5 = 6
Grafiek 2:
evenwichtsstand: (1 + −4) : 2 = −1,5
amplitude: 1 − −1,5 = 2,5
periode: (5 − −3) × 2 = 8 × 2 = 16
b Grafiek 3 is niet periodiek, omdat de grafiek geen stukje heeft dat zichzelf
steeds herhaalt.
V3 y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V4 a Na 60 : 4 = 15 seconden is punt A voor het eerst op de hoogte van de as.
30 seconden later (dus 45 seconden na het begin) is punt A weer op de
hoogte van de as.
b Het hoogste punt bevindt zich 20 meter boven de as van het reuzenrad, dus
de straal van het rad is 20 meter.
c Punt A is na 80 seconden even hoog als na 20 seconden, dus 10 meter hoog.
d In de eerste minuut bevindt punt A zich na 10 seconden en na 50
seconden 10 meter onder de as. De grafiek herhaalt zich met een periode
van 60 seconden, dus punt A bevindt zich ook 10 meter onder de as na
bijvoorbeeld 70 seconden, 110 seconden en 130 seconden.
e Punt A legt in één minuut een cirkel af met een straal van 20 meter.
Dat is 2 · π · 20 ≈ 126 meter.
V5 a Bij x = 1 is de y-waarde bij f gelijk aan 0 en bij g gelijk aan −3. Je krijgt de
grafiek van g dus door de grafiek van f drie eenheden omlaag te schuiven.
Dus g (x) = f (x) − 3 = 3log(x) − 3.
b Bij iedere x-waarde is de y-waarde bij h twee keer zo groot als bij f.
Alle punten op de grafiek liggen twee keer zo ver van de x-as af.
c h(x) = 2 · f (x) = 2 · 2log(x)
6 Hoofdstuk 18 Periodieke functies © Noordhoff Uitgevers bv
, d j(x) = f (x) + 6 = 2log(x) + 6
e y
7
l
6 h
5
4
f
3
2
1
g
O x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
−4 k
−5
18.1 Sinusfunctie
intro Eén rondgang in het reuzenrad duurt 30 minuten. Na 15 minuten ben je op
het hoogste punt van 135 meter. Het duurt 15 − 12 = 3 minuten voordat je
van 122 meter tot 135 meter bent geklommen. Vanwege de symmetrie ben je
drie minuten later weer gedaald tot 122 meter. Het duurt in totaal 3 + 3 = 6
minuten voordat je weer op een hoogte van 122 meter bent.
135
122
hoogte in m
O 12 15 18 30
tijd in min
1 a Het wiel is een cirkel met een straal van 1 meter. De omtrek van deze cirkel
is 2 · π · straal = 2 · π · 1 = 2π meter.
b Na π seconden heeft punt P de helft van de cirkel afgelegd. Het punt bevindt
zich dan aan de linkerkant op de hoogte van de as.
c Punt P bevindt zich (voor het eerst) in het laagste punt als het punt driekwart
van de cirkel heeft afgelegd. Dat is na 34 × 2π = 1 12 π ≈ 4,71 seconden.
d h
1,5
1
0,5
π 2π
O t
0,5
1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
−0,5
−1
−1,5
e De grafiek herhaalt zich met een periode van 2π seconden, dus punt P is
opnieuw in het hoogste punt na 12 π + 2π = 2 12 π ≈ 7,85 seconden.
© Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 18 Periodieke functies 7
,18 Periodieke functies
2 Invoer: y1 = sin(x)
Venster: 0 ≤ x ≤ 2π, −1 ≤ y ≤ 1
De grafieken zijn gelijk.
3 a Je ziet 3 perioden.
b (−2π, 0), (0, 0), (2π, 0) en (4π, 0)
c Op (bijvoorbeeld) het interval [ 12 π, π] is de grafiek van f toenemend dalend.
d Op (bijvoorbeeld) de intervallen [ 0, 12 π ] en [ 2π, 2 12 π ] is de grafiek van f
afnemend stijgend.
e ( −1 12 π, 1), ( − 12 π, −1), ( 12 π, 1), ( 1 12 π, −1), ( 2 12 π, 1) en ( 3 12 π, −1)
4 a De grafiek van f herhaalt zich met een periode van 2π.
Op de grafiek ligt het punt ( 12 π, 1). Eén periode naar rechts ligt het punt
( 2 12 π, 1) en twee perioden naar rechts ligt het punt ( 4 12 π, 1).
De punten ( 2 12 π, 1 ) en ( 4 12 π, 1 ) liggen dus op de grafiek van f.
De functie f heeft in die punten een maximum.
b ( 6 12 π, 1), ( 8 12 π, 1) en ( 10 12 π, 1)
c ( 1 12 π, −1), ( 3 12 π, −1) en ( 5 12 π, −1)
d (0, 0), (π, 0), (2π, 0) en (3π, 0)
e De grafiek van f snijdt de x-as in alle x-waarden die een veelvoud zijn van π,
dus in de punten …(0, 0), (π, 0), (2π, 0), (3π, 0) …
De grafiek van f zal de x-as dus ook snijden in (23π, 0).
5 a De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0) … en dus ook (7π, 0).
Het punt (7π, 1) ligt niet op de grafiek van f.
b De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0) … en dus ook (119π, 0).
Het punt (119π, 0) ligt wel op de grafiek van f.
1
( )
c Op de grafiek ligt het punt 1 2 π, −1 . Twee perioden naar rechts ligt het
( ) ( )
punt 5 12 π, −1 . Het punt 5 12 π, 1 ligt niet op de grafiek van f.
d De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0),(π, 0),(2π, 0) … en dus ook (−11π, 0).
Het punt (−11π, 0) ligt wel op de grafiek van f.
( 1
)
e Op de grafiek ligt het punt 1 2 π, −1 . Vijf perioden naar links ligt het punt
( −8 12 π, )
−1 . Het punt ( )
−8 12 π, −1 ligt wel op de grafiek van f.
f Op de grafiek ligt het punt ( 12 π, 1 ). 118 perioden naar rechts ligt het punt
( 236 12 π, 1). Het punt ( 236 12 π, 1) ligt wel op de grafiek van f.
8 Hoofdstuk 18 Periodieke functies © Noordhoff Uitgevers bv
, 6 a Invoer: y1 = sin(x) en y2 = 0,8
Venster: 0 ≤ x ≤ 2π, −1,5 ≤ y ≤ 1,5
Optie: snijpunt
Het eerste snijpunt is (0,93; 0,80), dus de coördinaten van punt A zijn
(0,93; 0,80).
1
b De grafiek van f is (lijn)symmetrisch in de verticale lijn door x = 2 π.
Daaruit volgt dat de horizontale afstand tussen x = 0 en punt A gelijk is aan
de horizontale afstand tussen punt B en x = π, zie de schets hieronder.
1
y 2
π
A B
π
O x
0,93 0,93
Dus de x-coördinaat van punt B is π − 0,93 ≈ 2,21.
c De grafiek van f is (punt)symmetrisch in het punt (π, 0).
Vanwege de symmetrie is de horizontale afstand tussen punt B en (π, 0)
gelijk aan de horizontale afstand tussen (π, 0) en punt C. Deze afstand is
π − 2,21 ≈ 0,93. De x-coördinaat van punt C is π + 0,93 ≈ 4,07.
De coördinaten van punt C zijn (4,07; −0,80).
Vanwege de symmetrie is de horizontale afstand tussen punt A en (π, 0)
gelijk is aan de horizontale afstand tussen (π, 0) en punt D. Deze afstand is
π − 0,93 ≈ 2,21. De x-coördinaat van punt D is π + 2,21 ≈ 5,35.
De coördinaten van punt D zijn (5,35; −0,80).
7 a Punt P bereikt (voor het eerst) de grootste hoogte na een kwart van de
periode, dus na 14 × 4 = 1 seconde. De periode is 4 seconden, dus punt P
bereikt de grootste hoogte ook na bijvoorbeeld 5 seconden en 9 seconden.
b h
1
0,5
O t
1 2 3 4 5 6 7 8
–0,5
–1
c Op tijdstip t = 1 is de hoogte van punt P ten opzichte van de as van de
windmolen gelijk aan 1 meter.
De hoogte van punt P (ten opzichte van de grond) is dan 1 + 3 = 4 meter.
d Op tijdstip t = 3 bevindt punt P zich 1 meter onder de as van de windmolen.
De hoogte van punt P (ten opzichte van de grond) is dan 3 − 1 = 2 meter.
e Op tijdstip t = 10 is punt P even hoog als op tijdstip t = 8, dus op dezelfde
hoogte als de as van de windmolen. De hoogte van punt P is dan 3 meter.
© Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 18 Periodieke functies 9
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper yasmine15231. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,56. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 84669 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen