Samenvatting van enkelvoudige lineaire regressie o.b.v. het vak Statistiek & Epidemiologie (STEP) (Biomedische Wetenschappen, Universiteit Utrecht) in 2018/2019. De samenvatting bevat figuren en voorbeelden.
Enkelvoudige lineaire regressie – Statistiek
Enkelvoudige lineaire regressie
Bij enkelvoudige lineaire regressie is er sprake van één continue uitkomst/afhankelijke variabele (Y) en één
continue of categorische onafhankelijke/verklarende variabele (= determinant) (X). Bij lineaire regressie wil
men een lineair model voor Y als functie van X opstellen, zodat men Y kan voorspellen op basis van een
lineaire relatie met X.
Yi = Y-coördinaat waarneming.
Model = Intercept/Asafsnede.
𝑌𝑖 = + 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 = Lineaire regressiescoëfficiënt.
Xi = X-coördinaat waarneming.
* εi is onafhankelijk voor i = n. εi volgt een normale verdeling met εi = Afwijkingsscore = Residu = De
gemiddelde 0 en een variantie van σ2 (εi N (0 ; σ2). De variantie is verticale afstand tussen een
dus niet afhankelijk is van Xi. De variantie is constant over de waarneming en de regressielijn.*
gehele lengte van de regressielijn.
Lineaire regressieanalyse
en worden geschat m.b.v. de kleinste kwadratenmethode:
𝑆𝑆𝑅𝐸𝑆 = 𝑆𝑆𝐸𝑅𝑅𝑂𝑅 = ∑(𝑌𝑖 − (∝ +𝑋𝑖 ))2
a en b zijn zuivere schatters voor en . Deze worden ook geschat o.b.v. de kleinste kwadratenmethode:
∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)(𝑌𝑖 − 𝑌̅) 𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) 𝑠𝑑(𝑌)
𝑏= = =𝑟∗
∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅) 2 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) 𝑠𝑑(𝑋) r = Pearson’s correlatiecoëfficiënt.
R2 = Variantie verklaard door de
Het middelpunt van elke puntenwolk is (𝑋̅, 𝑌̅). De regressielijn regressielijn. = Proportie
loopt altijd door dit middelpunt. Het intercept (a) is vervolgens te verklaarde variantie.*
berekenen met: a = Intercept/Asafsnede.
𝑎 = 𝑌̅ − 𝑏𝑋̅ b = Lineaire regressiecoëfficiënt.*
* Bij enkelvoudige lineaire regressie geldt R2 = r2. Het teken van r is identiek aan het teken van b.
𝜎2
b is normaal verdeeld met gemiddelde en standaarddeviatie √∑(𝑋 −𝑋̅)2.
𝑖
Geschatte lineaire regressielijn
̂𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑖
𝑌
VOORBEELD 1: ENKELVOUDIGE LINEAIRE REGRESSIE
Onderzoeksvraag: In hoeverre beïnvloedt het lichaamsgewicht [pond] de diastolische bloeddruk (DBP)
[mmHg]?
De waarnemingen geven de volgende puntenwolk met enkelvoudige lineaire regressielijn:
1
, SPSS geeft de bovenstaande tabel. Hierin zijn de volgende gegevens af te lezen:
• b = 0,18 mmHg/pond. → Ongestandaardiseerde coëfficiënt voor het gewicht.
• a = 48,61 mmHg. → Ongestandaardiseerde coëfficiënt voor constant.
• r = 0,753. → Gestandaardiseerde coëfficiënt.
Dit geeft de volgende vergelijking voor de regressielijn: 𝑌𝑖 = 48,614 + 0,180𝑋𝑖 (𝑏𝑙𝑜𝑒𝑑𝑑𝑟𝑢𝑘 = 48,614 +
0,180 ∗ 𝑔𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡).
Toetsen op de lineaire regressiecoëfficiënt
Men toetst de lineaire regressiecoëfficiënt om te onderzoeken of het waargenomen lineaire verband
tussen X en Y toeval is of niet. Er zijn twee methoden om dit te toetsen:
• T-toets.
• F-toets.
H0 en H1
Voor beide methoden gelden de volgende hypotheses:
• H0: = b0 = 0.
• H1: ≠ b0 ≠ 0.
Voorwaarden
• Er is een lineaire samenhang.
Check: scatterplot.
• De waarnemingen in de steekproef zijn onafhankelijk van elkaar.
Dit is niet mogelijk om te checken, want dit hoort bij de proefopzet.
• De residuen (εi) zijn normaal verdeeld.
Dit betekent dat de waarnemingen waarden tussen -∞ en +∞ kunnen aannemen.
Check: de waarnemingen in de steekproef kunnen uit een normale verdeling komen (boxplot,
histogram, Q-Q-plot).
• De residuen (εi) hebben bij iedere waarde voor X dezelfde variantie.
Check: residuen plot.
• De X-variabele is een instelvariabele en heeft dus geen meetfout.
F-toets op de lineaire regressiecoëfficiënt
Formules F-toets op de lineaire regressiecoëfficiënt
De afwijking van een waarneming t.o.v. het overall gemiddelde (𝑌𝑖 − 𝑌̅) kan worden verklaard in twee
termen:
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper anoukbmw. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
