Dit is een samenvatting van het tweede deeltentamen van het vak Inleiding Logica van de Universiteit van Amsterdam. De samenvatting is op volgorde van de colleges.
Hoofdstuk 3
Een eindige verzameling is een verzameling die de eigenschap heeft dat we de elementen van
die verzameling kunnen tellen, en wel zo dat dat telproces op een gegeven ogenblik is afgerond.
Deze verzameling kan wel onvoorstelbaar groot zijn.
Eindigheid en oneindigheid maken gebruik van bijectie. Bijectief: Een functie f heet bijectief
wanneer f zowel injectief als surjectief is.
Injectief: Een functie f heet injectief als f aan verschillende elementen uit zijn domein
verschillende waarden toekent.
Surjectief: Een functie f heet surjectief wanneer elk element uit het codomein van f optreedt als
functie-waarde.
Verzameling A heet eindig wanneer er een n ∈ N te vinden is zo dat er een bijectie bestaat
tussen {x ∈ N | x < n} en A. ∅ is eindig. Waarom? Omdat er een bijectie bestaat tussen de
verzameling {x ∈ N | x < 0} en de lege verzameling.
De verzameling {a, b, c} is eindig. De volgende functie is immers een bijectie tussen {x ∈ N | x < 3}
en {a, b, c}:
De verzameling {1, 3, 5, 7, 9} is eindig. De volgende functie is een bijectie tussen de verzameling
{x ∈ N | x < 5} en deze verzameling:
Verzameling A heet oneindig wanneer A niet eindig is. De verzameling van natuurlijke getallen
N is oneindig volgens deze definitie.
Twee eindige verzamelingen A en B zijn even groot wanneer er een getal n is zo dat er een
bijectie is van {x ∈ N | x < n} naar A en een bijectie van {x ∈ N | x < n} naar B. Maar dan is er ook
een directe bijectie van A naar B.
, In plaats van over even groot als zullen we het nu hebben over gelijkmachtig met.
Gelijkmachtigheid is een begrip dat zowel op eindige als op oneindige verzamelingen van
toepassing is. Hier is de definitie van gelijkmachtigheid: Verzameling A heet gelijkmachtig met
verzameling B (notatie: A =1 B) wanneer er een bijectie van A naar B bestaat.
De definitie van ‘gelijkmachtigheid’ heeft als merkwaardig gevolg dat bijvoorbeeld de
verzameling N en de verzameling N − {0} gelijkmachtig (‘even groot’) zijn. Immers, de functie f :
N → N − {0} gedefinieerd door f(n) = n + 1 is een bijectie:
We zien aan dit voorbeeld dat de oneindige verzameling N een echte deelverzameling heeft van
dezelfde machtigheid. Als A een eindige verzameling is, dan is er geen echte deelverzameling van
A waarmee A gelijkmachtig is.
We kunnen een oneindige verzameling definiëren als: verzameling die gelijkmachtig is met een
van zijn echte deelverzamelingen.
De verzameling van alle natuurlijke getallen N is ‘even groot’ als de verzameling O van de oneven
natuurlijke getallen. Immers, f : N → O, gedefinieerd door f(n) = 2n + 1, is een bijectie:
Een verzameling die gelijkmachtig is met N heet aftelbaar. Wanneer A aftelbaar is en f is een
bijectie tussen A en N, dan noemen we f een aftelling van A.
De verzameling Z van de gehele getallen is gelijkmachtig met N:
De verzameling van alle velden van een oneindig schaakbord is aftelbaar:
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper kimgouweleeuw. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,99. Je zit daarna nergens aan vast.
