College aantekeningen
Lecture notes MATH362 applied probability
- Vak
- Instelling
A more summarised version of the lecture notes, with all the important parts for the course
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 12 pagina's
Voorbeeld 2 van de 12 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
gesponsord bericht van onze partner
Verkoper
Volgen
taliapdct
Voorbeeld van de inhoud
MATH3621 – AUXILIARY REVIEW OF PROBABILITY THEORY
1.1 probability space and distribution
Probability space – a triple ( Ω, F , P)
Sample space – Ω
- A non-empty set that describes all possible outcomes of the random
phenomenon
Events - F
- Set of all events which are suitable subsets of Ω (σ -algebra)
Probability distribution - P : F →[ 0,1]
Statements satisfied by probability distributions –
( i ) P ( Ω ) =1 (the probability of something happening is one
( ii ) for a sequence of pairwise disjoint events ( Ai ) ∞i=1 :
P ¿ (countable additivity property
Pairwise disjoint events - ( Ai ∩ A j=∅ , for i≠ j )
PROBABILITY DISTRIBUTIONS ON COUNTABLE SAMPLE SPACES:
1
Uniform probability distribution – let Ω be a finite set, P ( ω ) =
¿ Ω∨¿ ∀ ω ∈ Ω¿
Bernoulli distribution - P ( ω=1 )= p , P ( ω=0 )=1− p
{( )
n p k ( 1− p )n−k , if 0 ≤ k ≤ n
Binomial distribution - P ( ω=k ) = k
0 , otherwise
Multinomial distribution – given n ∈ Z +¿¿ and k ∈ Z +¿¿, let
Ω={( ω 1 , … , ω k ) : ωi ∈ { 0,1,2 , … , n } and ω 1+ …+ω k =n }
Then, for p1 , … , pk ≥ satisfying p1 +…+ pk =1, the multinomial distribution is defined:
n!
P ( ω1 , … , ωk ) = 1
p w … pwk
k
ω1 !… ωk ! 1
Geometric distribution - P ( ω=k ) =
ω −λ
{
p ( 1− p )k −1 , k ≥1
0 , ow
λ e
Poisson distribution - P λ ( ω )= ,ω∈N
ω!
CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS:
❑
1
Uniform distribution - P ( A ) =
b−a A
∫ dx
❑
Exponential distribution - P ( A )=∫ λ e
−λx
dx
A
2
❑ − ( x−μ )
Gaussian distribution - P ( A )=∫ e 2σ
2
dx
A
❑
√ 2 π σ2
1
Gamma distribution - P ( A )= ∫
Γ ( z) A
z z−1 −λx
λ x e dx
❑
- Γ ( z ) : gamma function: Γ ( z )=∫ λ x e dx
z z−1 −λz
A
, 1.2 independent events
Independent events – two events A , B ⊆ Ω are independent ( A ⊥ B ) if
P ( A ∩B )=P ( A ) P(B)
Mutually independent events – events A1 , A 2 ,… , An ⊆Ω are mutually independent if
∀ I ⊆ { 1 , … ,n } :
P ( ¿ i∈ I A i )=∏ P ( A i )
i∈ I
Pairwise independent events - ∀ i, j ∈ I ,i ≠ j ,
P ( A i ∩ A j ) =P ( A i ) P (A j)
- Mutual independence ⇒ pairwise independence but not vice versa
1.3 conditional probability
Conditional probability – for two events A , B ⊆ Ω, P ( B )> 0, conditional probability of A
given B:
P( A ∩ B)
P ( A|B )=
P (B)
n
Law of total probability - P ( A )=∑ P ( A|Bi ) P( Bi )
i=1
1.4 random variable
Random variable – given a probability space ( Ω , F , P ) and a set S, a suitably nice function:
X :Ω → S is a S-valued random variable on ( Ω, F , P)
Distribution of a random variable – the distribution of X for suitable S:
P X ( A ) =P( { ω ∈ Ω : X ( ω ) ∈ A })
Distribution function of a real-valued random variable – the function F X :R → [0,1] given
by F X ( x )=P ( { ω ∈ Ω: X ( ω ) ≤ x } ) =: P ( X ≤ x ) , ∀ x ∈ R
Properties of distribution functions –
( i ) lim F ( x )=0 , lim F ( x ) =1
x →−∞ x →+∞
( ii ) x< y ⇒ F ( x ) ≤ F ( y )
( iii ) F is ¿ continuous i . e . F ( x+ h ) → F ( x ) as h → 0
Probability mass function of a discrete random variable – the distribution of X is given as a
function P X : S → [ 0,1 ] s .t .
P X ( x )=P ( { ω ∈Ω : X ( ω )=x } ) , ∀ x ∈ S
x
Distribution of a continuous random variable – F X ( x )=∫ f X ( y ) dy , x ∈ R
−∞
Probability density function of a continuous random variable – the integrable function
f X : R →¿
Independence of random variables – let ( Ω, F , P) be a probability space and
X 1 :Ω → S1 , … , X n : Ω→ S n be random variables on it
They are (mutually) independent if for suitable subsets: A1 ⊆ S 1 , … An ⊆S n :
n
P ( { ω : X 1 ( ω ) ∈ A1 , … , X n ( ω ) ∈ A n })=∏ P( {ω : X k ( ω ) ∈ A k })
k=1
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper taliapdct. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €8,72. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 64450 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen