Samenvatting die handig is voor het (sinds 2020 nieuwe) vak STAWIDA. Industrieel ingenieur, UGent
De volgende onderwerpen worden in de samenvatting besproken.
*Verdelingsfuncties van een populatie
*Discrete verdelingen
*Continue verdelingen
*Schattingstheorie
*Testen van hypothesen
*ANOVA
...
Statistiek samenvatting
(Algemeen: Griekse letters zijn voor gegevens van de populatie (σ), gewone letters voor steekproef (s).
Hoofdstuk 3: Verdelingsfuncties van een populatie
Kansfunctie = dichtheidsfunctie:
Bij discreet: f(xi) = P(x=xi) als xi ∈ de waarden van de functie.
Bij continu: Bovendien geldt P(x=c)=0
Cumulatief wordt het cumulatieve distributiefunctie of verdelingsfunctie genoemd.
De verwachte waarde van een functie E[g(x)] : Discreet:
Continu:
Gemiddelde E[x]:
Modus: x-waarde waarvoor f(x) zijn maximum bereikt.
Mediaan: F(mediaan) = 0.5
Variantie ²:
Standaardafwijking : vierkantswortel uit variantie. ² = V[x] = E[x²] - µ² Var(G) = E(G²) – [E(g)]²
Eigenschappen: E[ax+b] = a E[x] + b en V[ax+b]=a²V[x]
Fractielen: eerste deciel X0.10, eerste kwartiel X0.25, derde kwartiel X0.75, tweede kwartiel is de mediaan
Kwartieldeviatie K = 0,5 * (X0.75 – X0.25)
Moment van toevalsveranderlijke x van orde k t.o.v. punt c = E[ ( x – c )k ]
voor c=0: µ’k = E[xk] voor c=µ: µk = E[(x-µ)k] = centrale momenten
Momentenfunctie M(t) = E[etx]
= verwachte waarde voor etx
Scheefheid S = α3 = µ3/σ3 = S>1 is staart naar rechts. S=0 symmetrisch
Steilheid K = kurtosis = α4 = µ4/σ4 = K>3 = steiler, K<3 = platter. Excess E = K – 3
Ongelijkheid van Chebychev:
𝑃(|𝑋 – 𝜇| ≥ 𝑘𝜎) ≤ 1/k² en 𝑃(|𝑋 – 𝜇| < 𝑘𝜎) ≥ 1 - 1/k²
!examen: “bepaal de kans dat x-µ groter is dan…” als f(x) gegeven is, niet
met Chebychev doen. Alleen schattingen mogen met Chebychev gemaakt
worden.
1
,Hoofdstuk 4: Discrete verdelingen
µ’s en σ’s gegeven op formularium, f(i)’s niet.
Uniforme discrete verdeling:
alle uitkomsten even waarschijnlijk. F(i) = P(x=xi) =
Eigenschappen:
Bernouilli verdeling:
2 mogelijke uitkomsten: p = kans op succes. 1-p is kans op geen succes
Binomiale verdeling:
Een experiment (2 mogelijke uitkomsten; Bernouilli-experiment) wordt aantal keren (onafhankelijk)
herhaald. Volgorde is dus willekeurig.
Geometrische verdeling:
Een experiment (Bernouilli: 2 mogelijke uitkomsten), wordt (onafhankelijk) herhaald tot verschijnsel A voor
het eerst optreedt.
f(i) = P(x=i) = (1-p)i-1 p E[x] = µ = V[x] = σ² =
Hypergeometrische verdeling:
N elementen waarvan M de eigenschap A bezitten, er worden n elementen getrokken. De kans dat i van die
n elementen eigenschap A bezitten is:
f(i) = (hfst 1) E[x] = µ = V[x] = σ² = 𝑛 (1 − )
Bij een kleine n t.o.v. N zal de kans op succes benaderd worden door p = M/N
Poisson verdeling:
“Een aantal per tijdsinterval/volume/gewicht/…” Het aantal successen in elk interval is onafhankelijk van
aantal successen in elk ander interval én de kans op succes is rechtevenredig aan de grootte van het
interval.
f(i) = P(x=i) = 𝑒 E[x] = µ = λ V[x] = σ² = λ
!
Eigenschap: voor n -> ∞ en p -> 0 nadert de binomiale verdeling naar de Poissonverdeling met λ = np .
Recursieformule: f(i+1) = f(i)
2
, Hoofdstuk 5: Continue verdelingen
Uniform continue verdeling
Dichtheidsfuntie is constant binnen een interval [a,b]. ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 1 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑘 =
Normale verdeling = Gaussdistributie
N(µ, σ)
( µ)²
𝑓(𝑥) = 𝑒 ² 𝑥𝜖ℝ µ=µ u2’ = µ² + σ² σ² =µ2’-µ² = 𝜎²
√
Dichtheidsfunctie f(x) heeft maximum in x=µ en buigpunten in x = µ - σ en x = µ + σ.
Als y=ax+b normaal verdeeld is met µ en σ, dan is y ook normaal verdeeld met µy=aµ+b en σy = |a| σ.
Bij een steekproef van n willekeurige elementen uit N(µ0, σ0) verdeling, dan is 𝑥̅ verdeeld als N(µ0, ).
√
µ
Genormeerde normale verdeling: als x N(µ, σ) verdeeld is, is z = genormeerd normaal verdeeld: N(0,1)
Als x binomiaal verdeeld is met n en p, nadert die naar N(np, 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)) als np≥5 en n(1-p)≥5.
Als x poisson verdeeld is met λ, nadert die naar N(𝛌, √𝛌) als λ groot genoeg is (≥ 15)
Centrale limietstelling: n onafhankelijke toevalsvariabelen met zelfde verdeling somvariabele Sn is
asymptotisch normaal verdeeld met gemiddelde nµ en variantie nσ². (n≥ 30)
! Overgang van discrete variabele naar continue variabele: continuïteitscorrectie. Bv. P(i≥ 10) = P(x≥ 9,5)
De χ² verdeling
x is som van kwadraten van n genormeerde normaal verdeelde variabelen zi met k verbindingsvgl (v = n - k).
χ²(v d.f.) x steeds positief µ=v σ² = 2v
Voor v ≥30 is z = benaderd N(0,1) verdeeld.
√
Eigenschap: als x χ²(v1 d.f.) en y χ²(v2 d.f.) met x en y onderling onafhankelijk, dan is x+y χ²(v1+v2 d.f.).
Als n>30, nadert de χ²-verdeling met n d.f. naar N(n,√2𝑛)
²( ) ̅
=∑ ² χ²(n-1 d.f.) verdeeld
De t verdeling (= student verdeling)
Verhouding van normaal verdeelde variabele z tot de vkw van χ² verdeelde veranderlijke y, gedeeld door v.
t(v d.f.) x= µ=0 σ² =
µ
t(n-1 d.f.) verdeeld, (x normaal verdeeld). Voor v ≥ 30 is het nagenoeg N(0,1) verdeeld.
√
De F verdeling (=Fisher distributie)
x is quotiënt van 2 onafhankelijke χ² verdeelde variabelen u en v, beiden gedeeld door hun vrijheidsgraden
²( )
F(v1,v2 d.f.) x= steeds positief µ= voor 𝑣 >2 σ² = ( )( )²
voor 𝑣 >4
Eigenschappen: x: F(v1,v2 d.f.) : F(v2,v1 d.f.) en F1-α (v2,v1 d.f.) = ( , . .)
/
Eigenschap: als z: N(0,1) en y: χ²(v d.f.), dan is x = t(v d.f.), en is x²= /
F(1,v d.f.) verdeeld.
3
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper indinginf. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €5,49. Je zit daarna nergens aan vast.
