HOOFDSTUK 1 HELE GETALLEN
Deelbaarheid
De kenmerken van deelbaarheid door 10 en door 5
o Kenmerken van deelbaarheid door 10 Een getal is deelbaar door tien
als het getal eindigt op een 0. Dit komt omdat de getallen die eindigen op
een 0 toch al een tiental, honderdtal of duizendtal zijn en die zijn altijd te
delen door 10.
o Kenmerken van deelbaarheid door 5 Een getal is deelbaar door 5 als
het getal eindigt op een 0 of op een 5. Alle tientallen en duizendtallen zijn
namelijk sowieso al deelbaar door 5.
Kenmerken van deelbaarheid door 2, 4 en 8
o Kenmerken van deelbaarheid door 2 Een getal is deelbaar door 2 als
het getal eindigt op een 0, 2,4,6, of 8 (dus op een even getal). De verklaring
is dat je tientallen, en daarmee ook honderdtallen etc, door 2 kunt delen en
dat je dus verder alleen maar op de eenheden hoeft te letten om die
deelbaarheid te bepalen. De eenheden moeten dan dus op 0,2,4,6 of 8
eindigen.
o Kenmerk van deelbaarheid door 4 Een getal is deelbaar door 4 als je
het getal van de laatste twee cijfers van dat getal door 4 kunt delen. Bijv.
756 is deelbaar door 4, want 56 is deelbaar door 4. Honderdtallen,
duizendtallen etc., zijn deelbaar door 4, dus om te weten of het hele getal
deelbaar is door 4 hoef je alleen maar na te gaan of je het getal gevorm
door de laatste twee cijfers door 4 kunt delen. LET OP! JE MOET WEL DE
TWEE LAATSTE CIJFERS SAMEN ALS GETAL PAKKEN EN NIET LOS.
Dus niet 756 en dan 5 en 6, nee 56.
o Kenmerk deelbaarheid door 8 Een getal is deelbaar door 8 als de
laatste drie cijfers van dat getal door 8 deelbaar zijn. Elk duizendtal is
deelbaar door 8, immers 1000:8 = 125. Daarmee is dus alle wat voor
duizendtallen en links daarvan in het getal in ieder geval al deelbaar door 8.
Of bijv. het getal 705432 deelbaar is door 8, hangt dus af van de vraag of
432 deelbaar is d oor 8. En dat is zo, want 400 en 32 zijn deelbaar door 8,
dus 432 ook, en dan dus 705432 ook.
Hoe zit het nu met de deelbaarheid van 16? Het getal van de laatste vier cijfers moet
dna deelbaar zijn door 16. Het getal 783927884816 is dus deelbaar dor 16, want
4816 is deelbaar door 16, kortom: deelbaarheid door machten van 2, dus
2,4,8,16,32 etc. heeft soortgelijke kenmerken.
Kenmerken van deelbaarheid door 3 en 9
Als een getal deelbaar is door 9 is dat getal ook altijd deelbaar door drie. De
omgekeerde stelling geldt niet. Slecht één derde deel van alle getallen die deelbaar
zijn door 3 is bovendien deelbaar door 9, namelijk de negenvouden.
o Kenmerk van deelbaarheid door 9 Een getal is deelbaar door 9 als je de
som van de cijfers kan delen door 9. Zo is volgens dat kenmerk het getal
6705 deelbaar door 9, want 6+5+0+7 = 18 en het getal 18 is deelbaar door
9. (Dit kenmerk van deelbaarheid berust op de eigenschat dat elk duizendtal
een negenvoud +1 is. Zo is 1000 = 999+1 en dus 2000 = 2 x 999+2, 3000 =
3x999 +3 etc.).
o Kenmerk van deelbaarheid door 3 Een getal is deelbaar door drie als
de som van de cijfers van dat getal deelbaar is door 3. Het verschil met de
verklaring voor het kenmerk van deelbaarheid door 9 is dat de zom van de
resten deelbaar moet zijn door 3. Zo is 732 niet deelbaar door 9, want
, 7+3+2 = 12 is niet deelbaar door 9, maar 12 is wel deelbaar door 3. (Dit
kenmerk berust op de eigenschap dat elk duizendtal een drievoud is +1. Zo
is 1000 = 999+1, dus een drievoud +1 en 2000 = 2 x 999 +2, dus een
drievoud +2.
Kenmerken van de deelbaarheid door 6
o Kenmerken van de deelbaarheid door 6 Een getal is deelbaar door 6
als je het kunt delen door 2 EN door 3.
Soms worden er wel eens dingen gevraagd zoals: een getal is deelbaar door 24 als het
deelbaar is door 4 en door 6. Om dit te kunnen bewijzen ga je kijken naar een
tegenvoorbeeld. Zodra je één tegenvoorbeeld hebt is het al genoeg om te bewijzen. 12 is het
eerste getal dat deelbaar is door 4 en door 6, maar is niet te delen door 24, dus dit is één
tegenbewijs en dit betekent dat de stelling dus NIET waar is.
Kenmerken van de deelbaarheid door 12
o Wanneer een getal deelbaar is door 12 is het ook deelbaar door de delers
van 12, dus 3 en 4.
Na het bestuderen van de hierboven genoemde feiten zal je in staat zijn om deze stelling op
de volgende manier te generaliseren: Een heel getal is deelbaar door pxq als het deelbaar
is door p EN door q en als bovendien p en q priemfactoren zijn. Bijv het getal 2x3 =6, dus het
is deelbaar door 6 als je p en q dus 2 en 3 door 6 kan delen en 2 en 3 beide priemfactoren
zijn en dat zijn ze.
Generaliseren = Dit is een wiskundige activiteit, waarbij men na het doen van
eerdere ontdekkingen rondom een probleem een structuur ziet of regelmaat herkent
en op grond daarvan een algemener geldende uitspraak durft te doen over het
probleem. In feite generaliseer een leerling al als hij of zij met de uitkomst van 5+4
de uitkomst van 15+24, 25+74 etc. herkent. Dat gebeurt ook als een van de
leerlingen ontdekt dat je een rij van gelijke verhoudingen of van gelijkwaardige
breuken oneindig lang kunt voortzetten of dat een handeling als gelijknamig maken
algemeen toepasbaar is.
Priemgetallen
Priemgetal = Een priemgetal is een getal met precies twee verschillende delers,
namelijk 1 en zichzelf. Het getal 1 is ds geen priemgetal: het heeft wel 1 en zichzelf
als deler maar heeft niet twee verschillende delers.
Hoe kun je snel en systematisch alle priemgetallen onder de 100 vinden:
o Het getal 1 schrappen
o Alle tweevouden schrappen, behalve 2 zelf.
o Alle drievouden schrappen, behalve 3 zelf.
o Alle vijfvouden schrappen, behalve 5 zelf.
o Alle zevenvouden schrappen, behalve 7 zelf.
o Klaar want acht en tienvouden hebben we al gehad bij
de twee respectievelijke vijfvouden en de
negenvouden al bij de drievouden.
Waarom is het getal 91 dus geen priemgetal? Omdat 7x13 =
91, dus je kunt het getal 91 delen in 7,13, 1 en zichzelf, dus
het heeft vier delers.
Behalve in de wetenschap spelen priemgetallen in de
maatschappij ook een belangrijke rol, bijv. bij het coderen en
decoderen van geheime berichten, wachtwoorden en dergelijke.
Ontbinden in priemfactoren
Voor leerlingen van de basisschool zijn priemgetallen vooral van belang voor het leren
kennen van vermenigvuldigingstructuren van getallen. Het kunnen ‘ontbinden in
factoren’ is daarbij een waardevolle vaardigheid; dat geldt in het bijzonder voor het
1
, ‘ontbinden in priemfactoren’. Zo geeft de volgende rij vermenigvuldigingen in volgorde
alle ‘ontbindingen’ weer van 50 in twee factoren.
1x 50
2 x 25
5x 10
10 x 5
25 x 2
50 x1
Maar dit zijn geen ontbindingen in priemfactoren, want niet alle factoren zijn
priemgetallen. Van elk heel getal bestaat maar één ontbinding in priemfactoren. Dat is,
zou je kunnen zeggen, de maximale vermenigvuldigstructuur, ofwel de langste ketting
van priemfactoren. In het geval van 50 is dat 2x5x5 = 2 x 5^2.
In het schema van figuur 1.4.6 (blz. 65) zie je alle mogelijke combinaties van priemfactoren
van 144, en daarmee ook alle delers van 144. De kleinste deler is uiteraard het getal 1; dat
vind je bovenaan in het schema, namelijk 2^0 x 3^0 = 1x1x1. De grootste deler is uiteraard
144 zelf; die vind je onderaan in het schema, namelijk 2^4 x 3^2 = 144.
Het levert in totaal vijftien delers op, in het schema vijftien takjes.
Anders dan aanpak 1 x 144, 2 x 72 etc. geeft dit boomschema de ontbinding in
priemfactoren, dus de volledige vermenigvuldigingstructuur van 144 weer.
Groots gemene deler
De meeste getallen hebben een even aantal delers. Dit geldt niet voor de getallen: 1,4,16,35
etc., de kwadraten dus. Dit komt omdat zij een dubbele deler hebber. 4 heeft bijvoorbeeld
1x4, 4x1 en 2x2, met 2 als dubbele. Het getal 4 heeft dus maar drie delers, namelijk 1, 4 en
2 en dit is een oneven aantal. De getallen 60 en 70 hebben meerdere delers
gemeenschappelijk, namelijk 1,2,5 en 10. Daarvan is 10 dus de grootste deler die ze
gemeen(schappelijk) hebben. Dat noem je de grootste gemene deler, ofwel de GGD van
60 en 70.
Voor de grootste gemene deler moet je de getallen eerst ontbinden in priemfactoren.
Dus bijv. de GGD van 60 en 100, dan ga je ze eerst in priemfactoren ontbinden, dan krijg je
bij 60 2x2x3x5 en bij 100 2x2x5x5. Ze hebben beide twee 2’en en allebei één 5, dus de
grootst gemene deler is dan 2x2x5 = 4x5 = 20. Dus de grootst gemene deler is 20.
Het is logisch dat de GGD van twee getallen altijd ook een deler van het verschil tussen
beide getallen is. (Kijk maar naar het verschil tussen de getallen 100 en 60. Geschreven met
priemfactoren is dat verschil 100-60 = 2^2 x 5^2 – 2^2 x 3 x 5. De GGD, het getal 20 =2^2 x
5^2, en ook van de tweede term 2^2 x 3 x 5, dus van beide, en daarmee van het verschil. Je
kunt het ook aantonen door de GGD ‘buiten haakjes’ te halen 2^2 x5^2 – 2^2 x 3x5 = (2^2 x
5) x (5-3) = ‘GGD’ x 2.
Hiervoor werd duidelijk dat de GGD van twee getallen altijd een deler is van het verschil van
die getallen. Als het verschil 1 is, kan de GGD dus alleen maar 1 zijn.
Waarschijnlijk heb je zonder het te beseffen weleens van de GGD gebruikgemaakt bij het
vereenvoudigen van breuken. Als je bijv. de breuk 18/24 moet vereenvoudigen, kun je
vereenvoudigen door bijv. eerst teller en noemer door 2 te delen, dat word dan 9/12 en
vervolgens de teller en noemer nog eens door 3 te delen, met einduitkomst ¾. Verder kund
je niet vereenvoudigen. Misschien zag je al meteen dat je de teller en noemer maximaal
door 6 kunt delen. Welnu: 6 is de GGD van 18 en 24. Bij de getallen 48 en 132 is de GGD
12, want ze zijn beide maximaal te delen door 12. (48 = 2x2x2x2x3 en 132 = 2x2x3x11, dus
ze hebben samen 2x2x3 gemeen dus dat is 12).
Kleinste gemene veelvoud
Met behulp van het ontbinden in priemfactoren kun je ook het kleinste gemene veelvoud
(KGV) van getallen berekenen. Om een eerste idee te krijgen van wat het begrip KGV
inhoudt nemen we het voorbeeld van de getallen 50 en 60 erbij. Veelvouden van 50 en 60
zijn 50,100,150,200,250,300 etc (de tafel van 50 dus in feite). Veelvouden van 60 zijn
60,120,180, 240,300 etc. Het kleinste veelvoud dat 50 en 60 gemeen(schappelijk) hebben,
het KGV is dus het getal 300. Als je de ontbinding in factoren van 50 en 60 kent, namelijk dat
50 = 2 x 5 x5 en 60 = 2x2x3x5, kun je KGV van beide getallen bepalen door te bedenken dat
2
