Wiskunde
1 ALGEBRA
1.1 Getallen en rekenregels
1.1.1 Getallen
natuurlijk ℕ 0,1,2,3 rationale ℚ -0,5, -1, 0, 0,333… kommagetal verkregen door breuk (eindig
aantal decimalen of (uiteindelijk)
repeterende decimale)
geheel ℤ -1,0,1,2 reëel ℝ 𝜋, √2 (√2 = irrationeel = oneindig niet-repeterende
decimalen)
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
1.1.2 Bewerkingen
Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 en enkel deelbaar door 1 en zichzelf
® ieder getal kan op unieke wijze geschreven worden als product van priemgetallen (beginnen met delen door
kleinste priemgetal …)
GGD grootste gemene deler
1 beide getallen ontbinden in priemfactoren
2 de gemeenschappelijke factoren vermenigvuldigen (bevatten allebei 2∙ 7 → 14 GGD)
KGV kleinste gemene veelvoud = kleinste getal dat deelbaar is door deze 2
!∙#
® 𝑘𝑔𝑣 (𝑎, 𝑏) =
$$% (!,#)
! *
"
machten: 𝑥 " = √𝑥 * = ; "√𝑥<
ax+y = ay • ax
(ax)y = axy
(ab)x = axbx
11 12 13 14 15 16 17 18 19
121 144 169 196 225 256 289 324 361
merkwaardige producten
× 𝑎+ − 𝑏+ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
× (𝑎 ± 𝑏)+ = 𝑎+ ± 2𝑎𝑏 + 𝑏+
× (𝑎 ± 𝑏), = 𝑎, ± 3𝑎+ 𝑏 + 3𝑎𝑏+ ± 𝑏,
deelbaarheid
5 Het laatste cijfer van het getal is deelbaar door 5.
4 De laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 4.
25 De laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 25.
8 De laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8.
3 De som van de cijfers v/h getal is deelbaar door 3.
9 De som van de cijfers v/h getal is deelbaar door 9.
1.2 Evenredigheid
-
recht evenredig y is RE met x als = constant 𝑦 =𝑐∙𝑥 rechte lijn door (0,0)
.
omgekeerd evenredig y is OE met x als 𝑥 ∙ 𝑦 = constant 𝑐 hyperbool met x- en y-as als
𝑦=
𝑥 asymptoten
1.3 Veeltermen
graad = coëfficiënt van hoogst voorkomende macht
veeltermen delen -> deelbaarheid als R(X) = 0 dan f(a) = 0 dan (a, f(a)) is nulpunt van f(x)
• Euclidische deling (-)
F(X) D(X) 𝐹(𝑥) = 𝐷(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
Q(X) En niets anders
R(X)
1
, • Horner (+) d(x) = (x-a) -> f(x) = (x-a)(nieuwe functie) + r
• Reststelling d(x) = (x-a) -> rest van f(x)/(x-a) = f(a)
veelterm ontbinden: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥/ )(𝑥 − 𝑥+ ) … 𝑥0 = nulpunten van 𝑓(𝑥)
veeltermen oplossen:
× ontbinden OF • Som nulpunten = -b/a
× afzonderen • Product nulpunten = c/a
2𝒃±√𝑫
× 𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → 𝒙 =
𝟐𝒂
VERGEET NIET
× 𝑥 0#$#" = 𝑎 → 𝑥 = ± "√𝑎
1.4 Logaritmen
log ! 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎 - = 𝑥 𝑎 ∈ ℝ9 8 ∖ {1} (grondtal) 𝑥 ∈ ℝ9
8 (argument)
log ! 1 = 0 log ! 𝑎 . = 𝑥 𝑎:;<% . =𝑥
Briggse logaritme: log/8 𝑥 = 𝑦 → log 𝑥 = 𝑦
natuurlijke logaritme: ln 𝑎 = 𝑥 → 𝑒 . = 𝑎
1.4.1 rekenregels
.
log ! (𝑥 ∙ 𝑦) = log ! (𝑥) + log ! (𝑦) en log ! Z [ = log ! (𝑥) − log ! (𝑦)
-
log ! (𝑥 0 ) = 𝑛 ∙ log ! (𝑥)
:;<& . /
log ! 𝑥 = en log ! 𝑥 =
:;<& ! :;<' !
1.5 Stelsels oplossen
• Substitutie: uit 1 vergelijking 1 variabele uithalen en invullen in een andere vergelijking (blijven herhalen tot 1
onbekende en 1 vergelijking overblijft)
• Eliminatie: “lineaire combinaties” = veelvouden van 2 vergelijkingen optellen of aftrekken
Ø Bij 3 onbekenden en 3 stelsels:
- Regel 2 keer x en y, en 1 keer x of y en z
- Regel x = … en vul in bij Y (of omgekeerd)
- Indien 1 gevonden kan de rest worden gevonden
1.6 Moduletekens oplossen
|f(x)| < a -a < f(x) < a
|f(x)| > a f(x) > a of f(x) < -a
Ø Klinkt logisch maar is met getallen eigenlijk niet direct logisch
Als f(x) negatief is dan is |f(x)| = - x
2 MEETKUNDE
2.1 Vlakke figuren
2.1.1 Driehoek
× som van de hoeken van een driehoek is 180°
× langste zijde ligt tegenover grootste hoek, kortste zijde tegenover kleinste hoek
gelijkzijdige driehoek: 3 x zelfde lengte + 3 x 60°
gelijkbenige driehoek: 2 x zelfde lengte + basishoeken even groot
rechthoekige driehoek: 1 x 90° + 𝑎+ = 𝑏+ + 𝑐 + b en c = rechthoekszijden, a = schuine zijde
Stelling Thales: gelijkvormigheid
AB/ AC = A’B’/A’C’ = BB’/CC’
K
2.1.2 Koorde (cirkel)
Lengte koorde = k = 2r . sin (ß/2) ß is de hoek (aan het middelpunt) die tegenover de koorde ligt als men het als een
driehoek beschouwt met zijden; r, r, k
2
, 2.1.3 Vierhoeken
• Trapezium • Ruit
– 1 paar evenwijdige = basiszijden ×alle zijde hebben dezelfde lengte
– 1 paar niet-evenwijdige zijden = benen ×de diagonalen staan loodrecht op elkaar
en snijden in het midden
gelijkbenig trapezium: • Rechthoek
× diagonalen zijn even lang × diagonalen zijn even lang en snijden
× hoeken aan zelfde basis zijn even groot elkaar in het midden
• Parallellogram • Vierkant
× tegenoverstaande zijden zijn even lang
× tegenoverstaande hoeken even groot
× diagonalen snijden elkaar in het midden da
2.1.4 oppervlakte en omtrekken
omtrek oppervlakte
driehoek som van de zijden 𝑏∙ℎ
2
trapezium som van de zijden (𝑏 + 𝐵) ∙ ℎ
2
parallellogram 2(𝑏 + 𝑠) 𝑏∙ℎ
ruit 4𝑧 𝐷∙𝑑
2
rechthoek 2(𝑏 + ℎ) 𝑙∙𝑏
vierkant 4𝑧 𝑧+
cirkel 2∙𝜋∙𝑟 𝜋 ∙ 𝑟+
2.1.5 Volumes
=
Bol 𝜋 𝑟,
,
Piramide en kegel Agrondvlak . H / 3
2.2 Analytische meetkunde
kwadranten
II I
III IV
afstand tussen 2 punten: d(𝑥+ − 𝑥/ )+ + (𝑦+ − 𝑦/ )+
2.2.1 Rechte
𝑦 − 𝑦/ = 𝑚 (𝑥 − 𝑥/ ) 𝑦+ − 𝑦/
𝑚=
𝑥+ − 𝑥/
cartesiaanse 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 −𝑎 −𝑐
𝑚= 𝑞=
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 𝑏 𝑏
q = snijpunt y-as m = rico (= tan𝛼)
2.2.2 Parabool
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)+ + 𝛽
× a > 0 dalparabool
a < 0 bergparabool
× |𝑎| wordt groter → opening smaller
× |𝑎| wordt kleiner → opening breder
2# 2>
× TOP Z +! , =! [ of TOP (𝛼, 𝛽)
2#
× symmetrieas: 𝑥 = of 𝑥 = 𝛼
+!
2.2.3 Cirkel
(𝑥 − 𝑥* )+ + (𝑦 − 𝑦* )+ = 𝑟 +
𝑎𝑥 + + 𝑎𝑦 + + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0
× goniometrische cirkel 𝑥 + + 𝑦 + = 1
3
1 ALGEBRA
1.1 Getallen en rekenregels
1.1.1 Getallen
natuurlijk ℕ 0,1,2,3 rationale ℚ -0,5, -1, 0, 0,333… kommagetal verkregen door breuk (eindig
aantal decimalen of (uiteindelijk)
repeterende decimale)
geheel ℤ -1,0,1,2 reëel ℝ 𝜋, √2 (√2 = irrationeel = oneindig niet-repeterende
decimalen)
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
1.1.2 Bewerkingen
Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 en enkel deelbaar door 1 en zichzelf
® ieder getal kan op unieke wijze geschreven worden als product van priemgetallen (beginnen met delen door
kleinste priemgetal …)
GGD grootste gemene deler
1 beide getallen ontbinden in priemfactoren
2 de gemeenschappelijke factoren vermenigvuldigen (bevatten allebei 2∙ 7 → 14 GGD)
KGV kleinste gemene veelvoud = kleinste getal dat deelbaar is door deze 2
!∙#
® 𝑘𝑔𝑣 (𝑎, 𝑏) =
$$% (!,#)
! *
"
machten: 𝑥 " = √𝑥 * = ; "√𝑥<
ax+y = ay • ax
(ax)y = axy
(ab)x = axbx
11 12 13 14 15 16 17 18 19
121 144 169 196 225 256 289 324 361
merkwaardige producten
× 𝑎+ − 𝑏+ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
× (𝑎 ± 𝑏)+ = 𝑎+ ± 2𝑎𝑏 + 𝑏+
× (𝑎 ± 𝑏), = 𝑎, ± 3𝑎+ 𝑏 + 3𝑎𝑏+ ± 𝑏,
deelbaarheid
5 Het laatste cijfer van het getal is deelbaar door 5.
4 De laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 4.
25 De laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 25.
8 De laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8.
3 De som van de cijfers v/h getal is deelbaar door 3.
9 De som van de cijfers v/h getal is deelbaar door 9.
1.2 Evenredigheid
-
recht evenredig y is RE met x als = constant 𝑦 =𝑐∙𝑥 rechte lijn door (0,0)
.
omgekeerd evenredig y is OE met x als 𝑥 ∙ 𝑦 = constant 𝑐 hyperbool met x- en y-as als
𝑦=
𝑥 asymptoten
1.3 Veeltermen
graad = coëfficiënt van hoogst voorkomende macht
veeltermen delen -> deelbaarheid als R(X) = 0 dan f(a) = 0 dan (a, f(a)) is nulpunt van f(x)
• Euclidische deling (-)
F(X) D(X) 𝐹(𝑥) = 𝐷(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
Q(X) En niets anders
R(X)
1
, • Horner (+) d(x) = (x-a) -> f(x) = (x-a)(nieuwe functie) + r
• Reststelling d(x) = (x-a) -> rest van f(x)/(x-a) = f(a)
veelterm ontbinden: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥/ )(𝑥 − 𝑥+ ) … 𝑥0 = nulpunten van 𝑓(𝑥)
veeltermen oplossen:
× ontbinden OF • Som nulpunten = -b/a
× afzonderen • Product nulpunten = c/a
2𝒃±√𝑫
× 𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → 𝒙 =
𝟐𝒂
VERGEET NIET
× 𝑥 0#$#" = 𝑎 → 𝑥 = ± "√𝑎
1.4 Logaritmen
log ! 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎 - = 𝑥 𝑎 ∈ ℝ9 8 ∖ {1} (grondtal) 𝑥 ∈ ℝ9
8 (argument)
log ! 1 = 0 log ! 𝑎 . = 𝑥 𝑎:;<% . =𝑥
Briggse logaritme: log/8 𝑥 = 𝑦 → log 𝑥 = 𝑦
natuurlijke logaritme: ln 𝑎 = 𝑥 → 𝑒 . = 𝑎
1.4.1 rekenregels
.
log ! (𝑥 ∙ 𝑦) = log ! (𝑥) + log ! (𝑦) en log ! Z [ = log ! (𝑥) − log ! (𝑦)
-
log ! (𝑥 0 ) = 𝑛 ∙ log ! (𝑥)
:;<& . /
log ! 𝑥 = en log ! 𝑥 =
:;<& ! :;<' !
1.5 Stelsels oplossen
• Substitutie: uit 1 vergelijking 1 variabele uithalen en invullen in een andere vergelijking (blijven herhalen tot 1
onbekende en 1 vergelijking overblijft)
• Eliminatie: “lineaire combinaties” = veelvouden van 2 vergelijkingen optellen of aftrekken
Ø Bij 3 onbekenden en 3 stelsels:
- Regel 2 keer x en y, en 1 keer x of y en z
- Regel x = … en vul in bij Y (of omgekeerd)
- Indien 1 gevonden kan de rest worden gevonden
1.6 Moduletekens oplossen
|f(x)| < a -a < f(x) < a
|f(x)| > a f(x) > a of f(x) < -a
Ø Klinkt logisch maar is met getallen eigenlijk niet direct logisch
Als f(x) negatief is dan is |f(x)| = - x
2 MEETKUNDE
2.1 Vlakke figuren
2.1.1 Driehoek
× som van de hoeken van een driehoek is 180°
× langste zijde ligt tegenover grootste hoek, kortste zijde tegenover kleinste hoek
gelijkzijdige driehoek: 3 x zelfde lengte + 3 x 60°
gelijkbenige driehoek: 2 x zelfde lengte + basishoeken even groot
rechthoekige driehoek: 1 x 90° + 𝑎+ = 𝑏+ + 𝑐 + b en c = rechthoekszijden, a = schuine zijde
Stelling Thales: gelijkvormigheid
AB/ AC = A’B’/A’C’ = BB’/CC’
K
2.1.2 Koorde (cirkel)
Lengte koorde = k = 2r . sin (ß/2) ß is de hoek (aan het middelpunt) die tegenover de koorde ligt als men het als een
driehoek beschouwt met zijden; r, r, k
2
, 2.1.3 Vierhoeken
• Trapezium • Ruit
– 1 paar evenwijdige = basiszijden ×alle zijde hebben dezelfde lengte
– 1 paar niet-evenwijdige zijden = benen ×de diagonalen staan loodrecht op elkaar
en snijden in het midden
gelijkbenig trapezium: • Rechthoek
× diagonalen zijn even lang × diagonalen zijn even lang en snijden
× hoeken aan zelfde basis zijn even groot elkaar in het midden
• Parallellogram • Vierkant
× tegenoverstaande zijden zijn even lang
× tegenoverstaande hoeken even groot
× diagonalen snijden elkaar in het midden da
2.1.4 oppervlakte en omtrekken
omtrek oppervlakte
driehoek som van de zijden 𝑏∙ℎ
2
trapezium som van de zijden (𝑏 + 𝐵) ∙ ℎ
2
parallellogram 2(𝑏 + 𝑠) 𝑏∙ℎ
ruit 4𝑧 𝐷∙𝑑
2
rechthoek 2(𝑏 + ℎ) 𝑙∙𝑏
vierkant 4𝑧 𝑧+
cirkel 2∙𝜋∙𝑟 𝜋 ∙ 𝑟+
2.1.5 Volumes
=
Bol 𝜋 𝑟,
,
Piramide en kegel Agrondvlak . H / 3
2.2 Analytische meetkunde
kwadranten
II I
III IV
afstand tussen 2 punten: d(𝑥+ − 𝑥/ )+ + (𝑦+ − 𝑦/ )+
2.2.1 Rechte
𝑦 − 𝑦/ = 𝑚 (𝑥 − 𝑥/ ) 𝑦+ − 𝑦/
𝑚=
𝑥+ − 𝑥/
cartesiaanse 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 −𝑎 −𝑐
𝑚= 𝑞=
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 𝑏 𝑏
q = snijpunt y-as m = rico (= tan𝛼)
2.2.2 Parabool
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)+ + 𝛽
× a > 0 dalparabool
a < 0 bergparabool
× |𝑎| wordt groter → opening smaller
× |𝑎| wordt kleiner → opening breder
2# 2>
× TOP Z +! , =! [ of TOP (𝛼, 𝛽)
2#
× symmetrieas: 𝑥 = of 𝑥 = 𝛼
+!
2.2.3 Cirkel
(𝑥 − 𝑥* )+ + (𝑦 − 𝑦* )+ = 𝑟 +
𝑎𝑥 + + 𝑎𝑦 + + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0
× goniometrische cirkel 𝑥 + + 𝑦 + = 1
3
