Hele getallen
Hoofdstuk 2 Ontluikende gecijferdheid
Zie bladzijde 36 voor een schets van de leerlijn tellen en getalbegrip.
2.2 Elementair getalbegrip
Bij de ontwikkeling van het elementair getalbegrip speelt het leren tellen een rol: het verkennen van
de verschillende betekenissen en functies van getallen en het verkennen van de opbouw van
getallen. Ze tellen in allerlei situaties en hebben hier plezier in. Door al dit soort activiteiten in voor
kinderen betekenisvolle situaties zijn ze bezig met het verkennen van getallen en getalrelaties. De
kinderen krijgen steeds meer grip op omgaan met de telrij, hoeveelheden en getallen.
De oriëntatie van kinderen op de wereld omvat veel wiskundige elementen (getallen, meten, ruimte
en tijd). Bij deze wiskundige wereldoriëntatie gaat het om het leren van reken-wiskundige begrippen
en het vergroten van handelingsmogelijkheden van kinderen. Wiskundige oriëntatie vindt plaats in
voor kinderen betekenisvolle situaties, op school een rijke leeromgeving.
Voorbeelden rijke leeromgeving: huishoek, postkantoor, spelletjes, hoeveel kinderen, hoeveel dagen,
data, klokkijken, bouwhoek, spaarpot, dieren tellen etc.
Het is belangrijk om kinderen uit te dagen om hun vaardigheden verder te ontwikkelen. De
leerkracht zorgt ervoor dat hij steeds aansluit bij de zone van naaste ontwikkeling: bij wat de leerling
zonder begeleiding nog net niet kan doen, maar met begeleiding al wel.
2.2.1 Leren tellen
Door veel te tellen, bijvoorbeeld door het zingen van telversjes en rijmpjes, krijgen kinderen steeds
meer grip op de telrij. In groep 1 en 2 wordt het tellen niet tot tien beperkt. Juist het ontdekken van
de telnamen na de tien zorgt voor een impuls om de telrij beter te gaan beheersen.
Als de te vergelijken hoeveelheid te groot is om te tellen omdat het tellen nog niet zo ver wordt
beheerst, zijn de hoeveelheden te vergelijken door een één-op-één-relatie te leggen. Bij een één-op-
één-relatie gaat het om een één-op-één-koppeling. Bijvoorbeeld, er zijn evenveel traktaties als
kinderen, voor ieder potje is er een dekseltje.
Jonge kinderen herkennen kleine hoeveelheden: twee stukjes brood op het bord, een toren van drie
blokken. Kleuters herkennen kleine hoeveelheden direct. Er is dan sprake van subiteren: direct of
onmiddellijk zien. Bijvoorbeeld bij twee stukjes brood of drie blokken. Stukjes tot drie lukt goed, in
welke vorm dan ook. Vanaf vijf wordt het moeilijk. Zo kan het kind zo zien dat er vijf vingers aan een
hand zitten maar vijf losse voorwerpen die anders geordend zijn herkennen ze minder snel.
Er is sprake van akoestisch tellen als de telrij hardop wordt opgezegd, bijvoorbeeld in een versje.
Door middel van versjes en rijmpjes leren kinderen de telrij kennen en gebruiken, maar ze weten nog
niet waar een getal voor staat. Tellen heeft nog geen betekenis in de zin van hoeveelheden bepalen.
Kinderen tellen een hoeveelheid één voor één, maar aanwijzen en hardop tellen gaan nog niet gelijk
op, dus asynchroon tellen. Het kind zegt de telrij misschien al wel in de goede volgorde, maar bij het
aanwijzen wordt soms een voorwerp overgeslagen of juist dubbel geteld. Essentieel is het
nummeren: het inzicht dat aan objecten een nummer kan worden toegekend.
Bij synchroon tellen kan het kind tegelijkertijd voorwerpen aanwijzen en het juiste telwoord
noemen. Een manier om synchroon te stimuleren, is om bij het tellen van een rij objecten – zoals
,blokjes- deze objecten één voor één weg te laten schuiven. De één-één-relatie tussen het telwoord
en het weggeschoven object wordt dan eerder gelegd (ganzenbord helpt hierbij).
Bij resultatief tellen zijn kinderen in staat om een hoeveelheid te tellen en al aanwijzend de juiste
telwoorden te gebruiken. Tellen verloopt synchroon en kinderen kunnen bovendien de uitkomst van
het tellen aangeven. Met andere woorden: als kinderen acht blokken hebben geteld, weten ze dat
het laatst uitgesproken telwoord (acht) betekent dat er het aantal van acht blokken ligt. Dit
resultatief tellen breidt zich uit van kleine naar steeds grotere hoeveelheden.
Een kind kan resultatief tellen als het
- De telrij in de juiste volgorde opzegt;
- Een correcte één-op-één-relatie legt tussen de gebruikte telwoorden en de getelde
voorwerpen;
- Begrijpt dat het laatstgenoemde getal het aantal getelde voorwerpen aangeeft.
Het kind maakt dan een koppeling tussen het telgetal en het hoeveelheidsgetal, oftewel tussen het
ordinale en het kardinale getalsaspect. ‘Ordinaal’ verwijst naar rangorde (de zoveelste) en
‘kardinaal’ naar de hoeveelheid.
Na veel telervaringen ontdekken kinderen dat het niet altijd nodig is om alles één voor één te tellen.
Ook terugtellen is een geavanceerd niveau van tellen. Een vorm van verkort tellen is doortellen,
bijvoorbeeld vanaf een gekende hoeveelheid of gekend getalbeeld. Verschillende bedekspelletjes zijn
geschikt om door- en terugtellen te oefenen.
Verkort tellen kan ook met sprongen. Dit houdt in dat het kind telt met sprongen van bijvoorbeeld
twee, vijf of tien.
De ontwikkeling van kleuters verloopt niet altijd precies volgens de hierboven geschreven stappen.
Bij tellen valt onderscheidt te maken naar abstractieniveau.
- Contextgebonden tellen is betekenisvol tellen, zoals het aantal kaarsjes op een
verjaardagstaart. Het gaat hierbij niet om het tellen van losse objecten waar je zomaar een
verhaal bij verzint, het gaat erom dat het voor kinderen betekenisvol is om in die situatie te
tellen.
- Objectgebonden tellen is het tellen van dingen (objecten) zonder specifieke betekenis, zoals
blokken of fiches.
- Formeel tellen is de meest abstracte vorm van tellen: resultatief, verkort en op een gegeven
moment ook nog terug.
2.2.2 Rekenvoorwaarden
De kleuterperiode op de basisschool richt zich voor een groot deel op ontwikkelingsvoorwaarden en
leervoorwaarden, waaronder ook de rekenvoorwaarden vallen. Hieronder vallen alle aspecten van
de ontluikende gecijferdheid. Resultatief tellen en verkort tellen zijn belangrijke rekenvoorwaarden
voor het rekenen in groep 3. Daarnaast zijn ook de rekentaal-begrippen van belang: voor, naast,
achter, links, rechts, hoog, hoger, hoogst, klein, groot. Kennis van aantallen, betekenissen van
getallen en cijfersymbolen horen ook bij de rekenvoorwaarden, evenals meten en maatbegrip.
Piaget koppelde getalbegrip aan het vermogen tot logisch denken en de denkontwikkeling van het
kind. Tot ongeveer het zevende levensjaar verwerft het kind rekenvoorwaarden en getalbegrip.
Piaget onderscheidt vier belangrijke rekenvoorwaarden:
1. Begrip van conservatie: het inzien dat een hoeveelheid hetzelfde blijft, ook al verandert de
vorm van die hoeveelheid. (water uit hoog en laag glas).
, 2. Correspondentie is het kunnen leggen van één-op-één-relaties. Dit is belangrijk bij synchroon
tellen. Synchroon tellen is de correspondentie tussen het uitgesproken telwoord en het
getelde object (is er voor elke knoop een knoopsgat, is er voor ieder kind een stoel in de
kring?).
3. Classificatie is het maken van groepen op basis van een of meer gemeenschappelijke
kenmerken. Bijvoorbeeld al het ronde speelgoed.
4. Seriatie is het aanbrengen van een volgorde (klein naar groot).
2.2.3 Betekenissen van getallen
Kinderen komen al vroeg in aanraking met allerlei verschillende betekenissen van getallen. Voor een
kleuter is de betekenis van het getal niet altijd direct duidelijk. De 70 van 70 kilometer is iets anders
dan 70 knikkers en weer anders dan huisnummer 70.
Door bezig te zijn met allerlei activiteiten, spelletjes en prentenboeken onderscheiden kleuters
steeds duidelijker de verschillende betekenissen van getallen. Zo geeft een hoeveelheidsgetal of
kardinaal getal een bepaalde hoeveelheid aan. Een telgetal of ordinaal getal geeft de rangorde aan
in de telrij, maar ook een nummer: de derde, de vierde, of nummer 7. Een meetgetal geeft een maat
aan: in een grote kan past twee liter limonade. Bij een naamgetal geeft het getal vooral een
aanduiding, bijvoorbeeld de snelweg A4. Een formeel getal is een kaal rekengetal zoals je dat
gebruikt in opgaven als 3 + 2 = 5.
2.2.4 Symboliseren
Al in de voorschoolse periode hebben kleuters behoefte aan het symboliseren van een hoeveelheid.
Al vroeg gebruiken ze hiervoor hun vingers; ze steken drie vingers op om aan te geven dat ze drie jaar
oud zijn.
,Hoofdstuk 3 Aanvankelijk rekenen
Zie bladzijde 56 voor een schets van de leerlijn aanvankelijk rekenen.
3.2 Verder werken aan getalbegrip
Getalbegrip is de basis voor gecijferdheid. Bij basale gecijferdheid in de onderbouw gaat het om
verschillende betekenissen van getallen en betekenissen van en inzicht in de basisbewerkingen. Bij
aanvankelijk rekenen gaat het daarbij allereerst om optellen en aftrekken.
Met aanvankelijk rekenen wordt meestal het redeneren en rekenen met getallen tot en met 20
bedoeld. Het omvat ook het formeel tellen met grotere getallen.
Aan het begin van groep 3 moeten alle leerlingen resultatief en formeel kunnen tellen tot ten minste
20. In de loop van groep 3 wordt dit verder geoefend en snel uitgebreid naar het getalgebied tot en
met 100.
Er wordt verder geteld vanaf een willekeurig getal (bijvoorbeeld 33, 34, 35, 36), en met sprongen
geteld (bijvoorbeeld 20, 22, 24, 26). Vanaf een willekeurig getal tellen gebeurt ook met sprongen
(bijvoorbeeld 26, 36, 46, 56). Door zo te tellen met sprongen van 10 krijgen kinderen steeds meer
grip op de structuur van de telrij en van getallen boven 10.
Ook wordt terug tellen vanaf een willekeurig getal geoefend. Met het oefenen van deze telvarianten
worden tevens ankergetallen of steunpunten als 5, 10, 20 en 50 verkend. Deze telvormen en de
ankergetallen of steunpunten worden later benut bij het formele rekenen.
Naast teloefeningen zijn het ordenen en positioneren van getallen belangrijke oefeningen. Daarbij
leren kinderen de volgorde en de plaats van getallen ten opzichte van elkaar. Bij ordenen van
getallen gaat het om vragen als ‘welk getal is groter: 11 of 17’, ‘zet de getallen in juiste volgorde’. De
onderlinge afstanden tussen de getallen spelen hierbij nog geen rol.
Bij positioneren of lokaliseren van getallen gaat het om het (globaal) plaatsen van getallen op de
(lege) getallenlijn. Hierbij gaat het wel om de onderlinge afstanden tussen de getallen. Bijvoorbeeld
het getal 35 precies op de getallenlijn positioneren tussen 30 en 40, en het getal 19 kunnen
lokaliseren door te weten dat dit getal voorafgaat aan 20. Kinderen kunnen getallen lokaliseren door
gebruik te maken van de structuur van de telrij en ankerpunten. Dit soort oefeningen draagt bij aan
de ontwikkeling van gevoel voor de orde van grootte van getallen.
Aandacht voor getalstructuren is er ook in opgaven waarin leerlingen getallen structureren en
hoeveelheden ordenen met behulp van deze structuren. Bij getallen tot 20 gaat het om de
vijfstructuur, tienstructuur en dubbelstructuur.
Bij grote getallen gaat het ook om de decimale of tientallige structuur. Kinderen zien al snel de
analogie tussen de telrij tot 10 en de rij tientallen tot 100. De decimale structuur omvat ook de
interne structuur van getallen in tientallen en eenheden, bijvoorbeeld het getal 48 is 40 en 8, of vier
sprongen van 10 en een sprong van 8. Een externe structuur is bijvoorbeeld 48 is 50 eraf 2, of een
grote sprong van 50 heen en een kleine sprong van 2 terug.
De nul is een getal apart. Nul verschijnt wanneer er niets overblijft of er niets verandert, en dat zijn
dan ook situaties waarvan gebruik wordt gemaakt om de nul te introduceren.
De getallenlijn wordt bij aanvankelijk rekenen vooral gebruikt voor oefening met tellen, ordenen en
positioneren. Ook wordt de getallenlijn gebruikt ter ondersteuning voor bewerkingen.
Tellen tot 30 op de kralenketting: elke kraal heeft een nummer en is dus de zoveelste. Het gaat om
het ordinaal getalsaspect (zie bladzijde 61 voorbeeld).
,Bij de overstap van kralenketting naar getallenlijn gaat het om het kardinale getalsaspect. Een
streepje op de getallenlijn staat dan voor het aantal kralen dat daar voor zit. (zie bladzijde 62
voorbeeld).
De tientallige structuur is zichtbaar gemaakt met kleuren: er zijn afwisselend tien kralen van dezelfde
kleur.
Een andere voorloper van de getallenlijn is het meetlint. Op een meetlint van 1 meter kun je alle
getallen tot 100 laten zien.
3.3.1 Splitsen van getallen tot 10
Kinderen leren dat je getallen en aantallen kunt splitsen en samenstellen. Zo kun je de hoeveelheid
en het getal 8 splitsen in bijvoorbeeld 5 en 3. Samenstellen is de inverse bewerking van splitsen.
Bijvoorbeeld: met 5 en 3 kun je 8 samenstellen.
Naarmate leerlingen het splitsen beter beheersen, leren ze ook de relatie met optellen en aftrekken
te doorzien. Bijvoorbeeld dat 5 en 3 een splitsing is van 8 omdat 5 erbij 3 samen 8 is. Zo kun je als je
paraat hebt dat 7 bestaat uit 2 en 5, deze kennis gebruiken om de opgave 8 + 7 uit te rekenen via
aanvullen tot 10: 8 = 2 = 10, dan nog 5 erbij.
3.3.2 Optellen en aftrekken tot 10
De ontwikkeling verloopt globaal als volgt: tellend rekenen, gevolgd door rekenen met verder tellen
en gebruik van getalstructuren, resulterend in optellen.
‘Weetjes’ zijn gekende rekenfeiten (8 = 3 erbij 5).
Bij het leren rekenen tot 10 zijn twee modellen die aansluiten bij de informele tel- en
rekenstrategieën van kinderen belangrijk: het groepjesmodel en het lijnmodel.
Het groepjesmodel verwijst naar groeperen: vijven en dubbelen. Dit komt voort uit verkort tellen.
Een voorbeeld van een groepjesmodel zijn de vingerbeelden en het turven.
Het lijnmodel blikt als het ware vooruit naar het rijgend optellen. Materialen waarin het lijnmodel is
terug te zien, zijn bijvoorbeeld de kralenketting, de liniaal en de getallenlijn. In het rekenrek is zowel
het lijnmodel als het groepsmodel te herkennen.
Al vrij snel leren kinderen eenvoudige opgaven op formeel niveau op te lossen. Daar hoort bij dat de
termen erbij en eraf, langzamerhand worden vervangen door het formele plus en min.
Ook is er aandacht voor horizontaal mathematiseren, waarbij het onder meer gaat om het ‘vertalen’
van een situatie in een bewerking en andersom. Dit is voor kinderen niet altijd eenvoudig.
3.4 Betekenissen van optellen en aftrekken
Optellen en aftrekken hebben een inverse relatie.
Oplossingsprocedure = de manier van het oplossen van de som, zie bladzijde 72 voor verschillende
oplossingsprocedures.
Een context die je in veel reken-wiskundemethodes tegenkomt, is de buscontext. De buscontext
representeert getallen als aantallen passagiers en bewerkingen als de veranderingen in het aantal
passagiers. De buscontext is een voorbeeld van een modelcontext.
, 3.5 Optellen en aftrekken over de 10
Net als bij rekenen tot 10 is het bij optellen en aftrekken over de 10 belangrijk om voldoende
aandacht te besteden aan de verschillende structuren. Als kinderen getallen op verschillende
manieren structureren, is de overstap naar de bewerkingen niet heel groot meer.
Drie structuurmodellen die voor het rekenen tot en met 20 gebruikt worden, zijn het groepjesmodel,
het lijnmodel en het combinatiemodel.
Het groepsmodel verwijst naar het groeperen en ondersteunt de vijfstructuur, tienstructuur en
dubbelstructuur.
Voorbeelden van het lijnmodel zijn de kralenketting of twintigketting en de (lege) getallenlijn.
In het combinatiemodel worden hoeveelheden zowel naast als onder elkaar afgebeeld, waardoor
hierin zowel het lijn- als het groepjesmodel terug te zien zijn. hierin zijn alle genoemde structuren te
herkennen; bijvoorbeeld het rekenrek.
3.5.2 Formeel rekenen
Om te komen tot het formele niveau van rekenen tot 20 moeten materialen en modellen uiteindelijk
ook weer worden losgelaten. Ingeslepen getalbeelden, structuren en getalrelaties gaan dan fungeren
als steunpunten. Bijvoorbeeld de dubbelen: vanuit elke dubbele kunnen verschillende opgaven
worden afgeleid, waaronder de bijna-dubbelen.
Het afleiden van het antwoord op de ene opgave uit (het antwoord van) een andere opgave, dat in
bovenstaand voorbeeld te zien is (blz 78), valt in principe toe te passen op alle opgaven (ook later op
tafels en deeltafels).
Er bestaan verschillende varianten, zoals verwisselen (2 + 3 afleiden van 3 + 2), de inverse bepalen (6
– 2 afleiden van 4 + 2) en een buursom bepalen (3 + 4 afleiden van 3 + 3).
Andere getalrelaties en steunpunten die van pas komen bij het reken tot 20 zijn:
- Opgaven met nul: heeft de leerling door dat 0 erbij of eraf niets uitmaakt, dan weet hij direct
een heleboel sommen: 6 + 0, 7 – 0, 5 + 0, 0 + 0.
- Erbij 1 opgaven. Als je de getalrij kent, weet je ook deze opgaven: 4 + 1, 8 +1
- Eraf 1 opgaven, je moet terug tellen of weten welk getal ervoor kwam: 7 – 1, 5 – 1.
- Tiensommen: 10 + 3, 10 + 7
- Verdwijnsommen: 7 -7, 4- 4
- Bijna-verdwijnsommen: 7 – 6, 6 – 5
- Halven kunnen worden afgeleid van dubbelen: 6 – 3 = 3, 8 – 4 = 4
Al deze kennis komt van pas bij het automatiseren en memoriseren van de opgaven tot 10 en tot 20.
Speelse oefenopgaven (speels oefenen) zien er anders uit dan traditionele rijtjes oefenopgaven en
hebben soms letterlijk een speels karakter, bijvoorbeeld doordat er een wedstrijdelement inzit (niet
onderling doen maar ieder voor zich, persoonlijk record verbreken).
Productief oefenen is oefenen op een open, niet voorgestructureerde manier. Bijvoorbeeld door
kinderen te vragen zelf opgaven te verzinnen waar steeds hetzelfde antwoord uitkomt.
