Hoofdstuk 7 ............................................................................................................................................... 4
§7.1 – Partieel integreren ..................................................................................................................................... 4
§7.2 – Goniometrische integralen ........................................................................................................................ 7
Extra: Staartdelingen ..................................................................................................................................... 11
§7.4 – Integreren van breuken met behulp van breuksplitsen ........................................................................... 12
§7.5 – Alles door elkaar ...................................................................................................................................... 18
§7.7 – Het benaderen van integralen................................................................................................................. 21
§7.8 – Oneigenlijke integralen ........................................................................................................................... 24
Hoofdstuk 8 ............................................................................................................................................. 30
§8.1 – Booglengte .............................................................................................................................................. 30
§8.2 – De oppervlakte van een omwentelingslichaam ...................................................................................... 32
§7.1 – PARTIEEL INTEGREREN
Elke regel in het differentiëren heeft een bijpassende regel in het integreren. Zo heeft de
substitutieregel in het integreren de kettingregel. De regel die past bij de productregel is partieel
integreren.
De productregel kennen we en die luidt: [𝑓 ∙ 𝑔]′ = 𝑓 ′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′
We kunnen dit herschrijven als:
(𝑓𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′
𝑓𝑔′ = (𝑓𝑔)′ − 𝑓′𝑔
∫ 𝑓𝑔′ 𝑑𝑥 = ∫(𝑓𝑔)′ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓 ′ 𝑔 𝑑𝑥
∫ 𝑓𝑔′𝑑𝑥 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓 ′ 𝑔 𝑑𝑥
∫ 𝑓𝑔′ 𝑑𝑥 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓 ′ 𝑔 𝑑𝑥
Dit laatste noemen we de formule voor partieel integreren.
Calculus duidt dit aan met een andere notatie: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢. Daarin staat 𝑢 = 𝑓(𝑥) en 𝑣 =
𝑔(𝑥). De afgeleiden daarvan zijn dus 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 en 𝑑𝑣 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥. In deze samenvatting wordt de
eerste notatie aangehouden.
Voorbeeld 1:
∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
Deze integraal bestaat uit een product van twee functies. We gaan dus partieel integreren. De vraag is
dan welke we kiezen voor 𝑓 en welke voor 𝑔′. Een algemene regel is dat je voor 𝑓 de functie kiest die
makkelijker wordt als je hem differentieert.
𝑓=𝑥 𝑔 = −cos 𝑥
′
𝑓 =1 𝑔′ = sin 𝑥
∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ (− cos 𝑥) − ∫ 1 ∙ (− cos 𝑥)𝑑𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
Voorbeeld 1.a:
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑓=𝑥 𝑔 = sin 𝑥
𝑓′ = 1 𝑔′ = cos 𝑥
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 1 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥 sin 𝑥 − − cos 𝑥 + 𝐶
= 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
We kunnen ons antwoord altijd controleren door het opnieuw te differentiëren. Als we dan uitkomen
op hetgeen waar we mee begonnen, dan is het integreren goed gegaan.
Het doel van partieel integreren is om een gemakkelijkere integraal te krijgen dan degene waar we
mee begonnen. Dat is dus ook waarom we de functie voor 𝑓 kiezen die makkelijker wordt met
differentiëren. Achter het integraal-teken komt deze namelijk terug: ∫ 𝑓 ′ 𝑔 𝑑𝑥. Dan is het fijn als 𝑓 ′
iets makkelijks is. Dit geldt zo lang 𝑔′ gemakkelijk geïntegreerd kan worden naar 𝑔.
4
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper cdenhollander. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
