Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen (2e druk)
Hoofdstuk 4 Breuken
4.1 Getal en verhouding
Verschijningsvormen
Een breuk kan een deel van een geheel weergeven, 1/8 deel van een taart om een voorbeeld te
geven. Het kan ook een deel van een hoeveelheid zijn, ¾ van het stadion met 12.000 plaatsen is
gevuld voor de wedstrijd. Bij deze 2 verschijningsvormen geef de breuk een verdeling aan. Een breuk
kan ook een deling zijn: 2/3 ofewel 2:3. In deze zin is de breuk een getal en een bewerking ineen.
Een breuk kan ook voorkomen als een meetgetal, anderhalve meter of een half uur. Maar ook in een
maat kan je een breuk tegenkomen, een halfe bruin brood of een half bakje thee. Een breuk kan
natuurlijk ook een rekengetal zijn, doordat je 2 breuken bij elkaar moet optellen.
Breuken zijn ook ratonale getallen, dat wilt zeggen: een ratonaal getal is het quotint van 2 hele
getallen, het 2e getal kan echter nooit 0 zijn. De natuurlijke getallen of hele getallen, zijn dus ook
ratonale getallen: de noemer zal dan 1 zijn. Het quotint is de uitkomst van een deling, namelijk bij 2
: 3 is het quotint 2/3.
We spreken van gelijkwaardige breuken wanneer alle breuken dezelfde waarde hebben: 3/6, 5/10 en
50/100 geven allemaal de helf aan net als ½. Dit zijn dan ook gelijkwaardige breuken. Deze breuken
zijn dus ook te vereenvoudigen, namelijk naar ½. We doen dit door de teller en de noemer te delen
door hetzelfde getal, zo lang dat het mogelijk is om de kleinste breuk als eindgetal te hebben.
Bij de breuk 25/50 zou je nog verder kunnen delen, door teller en noemer beide te delen door de
grootste gemene deler (GGD) krijg je in 1 keer een breuk die niet verder te vereenvoudigen is. De
GGD is dan ook het grootste getal waar je de teller en noemer allebei door kan delen.
Gelijknamige breuken hebben juist dezelfde naam, dat wilt zeggen dat het onderste getal hetzelfde is
in beide breuken: bij 1/3 en 2/3 is dit het geval. Met behulp van het kleinste gemene veelvoud (KGV)
kunnen breuken gelijknamig worden gemaakt met zo’n klein mogelijke noemer.
Verschillende breuktypen kennen verschillende benamingen, namelijk:
Echte breuk: breuken kleiner dan 1; 2/3 of 3/7
Stambreuken: hebben als teller 1; ¼ of 1/44
Gemengde getallen: breuken groter dan 1; 2 ½ of 5 ¼
Onechte breuk: een niet-vereenvoudigde gemengde getal; 19/6 of 30/4
Samengestelde breuk: teller en noemer zijn zelf ook een breuk (zie opdr. Old school)
, 4.2 Breuken op de basisschool
Schets van de leerlijn breuken
Om breuken te introduceren wordt er aangesloten bij de informele voorkennis van de leerlingen,
hierbij moeten de breuken wel op verschillende manieren worden uitgesproken en genoteerd
worden (1/4, een vierde, een kwart). Zo kunnen de leerlingen langzaam het informele taalgebruik
naar formeel omschakelen.
Voor leerlingen zorgen de methodes ervoor dat er eerlijk wordt verdeeld om de breuken te
introduceren op een formeler niveau. Dingen eerlijk verdelen is voor leerlingen een logische en
betekenisvolle actviteit, hierbij maken ze dan zelf ook breuken. De verschijningsvorm die hierbij past
is deel van een geheel, maar ook een deel van een hoeveelheid komt hierin voor. Een voorbeeld
hiervan zou kunnen zijn: 15 snoepjes die eerlijk verdeelt wordt over 3 personen. Hierbij is de som
15:3 een belangrijk aspect, de leerlingen zullen dus goed de tafels moeten beheersen.
Modellen bij breuken
Het cirkelmodel
Dit model maakt goed zichtbaar dat een breuk een deel van een geheel kan zijn, de cirkel is namelijk
het geheel. Vanuit het vergelijken van delen kunnen gelijkwaardige breuken worden bepaald. Het is
wel erg belangrijk dat de breuken bij het cirkelmodel relatef eenvoudig zijn. Zo zou je met het
cirkelmodel kunnen aantonen dat 2/4 en 3/6 eigenlijk ook ½ is. Zo kun je breuken gaan vergelijken op
grootte door een vraag als: ‘aan welke tafel krijg je meer: aan een tafel met 4 pannenkoeken door 5
kinderen of een tafel met 5 pannenkoeken door 6 kinderen?’ Hierbij zouden er pannenkoeken mee
genomen kunnen worden, zodat het zichtbaar is voor alle leerlingen. Echter is het cirkelmodel niet
het beste model om zelf te tekenen, aangezien de delen nooit gelijk verdeeld zullen zijn en moet het
beperkt worden tot de eenvoudigere breuken.
Het rechthoekmodel of plakmodel
Dit model representeert zowel de verschijningsvorm deel van een geheel als deel van een
hoeveelheid. Ook in dit model kan er gebruik gemaakt worden van eerlijke verdeelsituates. Het gaat
dan om zaken die zowel als een geheel te zien zijn als makkelijk in stukjes verdeeld kunnen worden,
zoals plakken chocolade of stukken cake. Een reep chocolade kan dan ook makkelijker verdeeld
worden in 12 stukken dan een cirkel, waardoor het rechthoekmodel vaak een betere opte is bij
moeilijkere breuken. Dit model kunnen de leerlingen zelf ook tekenen, ook zou het model kunnen
worden uitgebreid wat dan weer niet mogelijk is bij het cirkelmodel.
Dergelijke opgaven met het plakmodel bereiden voor op optellen en afrekken met breuken. De
stukjes of blokjes hebben daarbij een rol als bemiddelende grootheid. Het aantal van de
bemiddelende grootheid, de stukjes, levert de noemer van de gelijknamige breuk op (zie p. 117).
Strook en stok
Ook dit model kan weer worden gebruikt om een deel van een geheel te visualiseren. Met de strook
zijn kinderen handelend bezig, ze vouwen namelijk de strook in vieren of in meerdere delen.
Hoofdstuk 4 Breuken
4.1 Getal en verhouding
Verschijningsvormen
Een breuk kan een deel van een geheel weergeven, 1/8 deel van een taart om een voorbeeld te
geven. Het kan ook een deel van een hoeveelheid zijn, ¾ van het stadion met 12.000 plaatsen is
gevuld voor de wedstrijd. Bij deze 2 verschijningsvormen geef de breuk een verdeling aan. Een breuk
kan ook een deling zijn: 2/3 ofewel 2:3. In deze zin is de breuk een getal en een bewerking ineen.
Een breuk kan ook voorkomen als een meetgetal, anderhalve meter of een half uur. Maar ook in een
maat kan je een breuk tegenkomen, een halfe bruin brood of een half bakje thee. Een breuk kan
natuurlijk ook een rekengetal zijn, doordat je 2 breuken bij elkaar moet optellen.
Breuken zijn ook ratonale getallen, dat wilt zeggen: een ratonaal getal is het quotint van 2 hele
getallen, het 2e getal kan echter nooit 0 zijn. De natuurlijke getallen of hele getallen, zijn dus ook
ratonale getallen: de noemer zal dan 1 zijn. Het quotint is de uitkomst van een deling, namelijk bij 2
: 3 is het quotint 2/3.
We spreken van gelijkwaardige breuken wanneer alle breuken dezelfde waarde hebben: 3/6, 5/10 en
50/100 geven allemaal de helf aan net als ½. Dit zijn dan ook gelijkwaardige breuken. Deze breuken
zijn dus ook te vereenvoudigen, namelijk naar ½. We doen dit door de teller en de noemer te delen
door hetzelfde getal, zo lang dat het mogelijk is om de kleinste breuk als eindgetal te hebben.
Bij de breuk 25/50 zou je nog verder kunnen delen, door teller en noemer beide te delen door de
grootste gemene deler (GGD) krijg je in 1 keer een breuk die niet verder te vereenvoudigen is. De
GGD is dan ook het grootste getal waar je de teller en noemer allebei door kan delen.
Gelijknamige breuken hebben juist dezelfde naam, dat wilt zeggen dat het onderste getal hetzelfde is
in beide breuken: bij 1/3 en 2/3 is dit het geval. Met behulp van het kleinste gemene veelvoud (KGV)
kunnen breuken gelijknamig worden gemaakt met zo’n klein mogelijke noemer.
Verschillende breuktypen kennen verschillende benamingen, namelijk:
Echte breuk: breuken kleiner dan 1; 2/3 of 3/7
Stambreuken: hebben als teller 1; ¼ of 1/44
Gemengde getallen: breuken groter dan 1; 2 ½ of 5 ¼
Onechte breuk: een niet-vereenvoudigde gemengde getal; 19/6 of 30/4
Samengestelde breuk: teller en noemer zijn zelf ook een breuk (zie opdr. Old school)
, 4.2 Breuken op de basisschool
Schets van de leerlijn breuken
Om breuken te introduceren wordt er aangesloten bij de informele voorkennis van de leerlingen,
hierbij moeten de breuken wel op verschillende manieren worden uitgesproken en genoteerd
worden (1/4, een vierde, een kwart). Zo kunnen de leerlingen langzaam het informele taalgebruik
naar formeel omschakelen.
Voor leerlingen zorgen de methodes ervoor dat er eerlijk wordt verdeeld om de breuken te
introduceren op een formeler niveau. Dingen eerlijk verdelen is voor leerlingen een logische en
betekenisvolle actviteit, hierbij maken ze dan zelf ook breuken. De verschijningsvorm die hierbij past
is deel van een geheel, maar ook een deel van een hoeveelheid komt hierin voor. Een voorbeeld
hiervan zou kunnen zijn: 15 snoepjes die eerlijk verdeelt wordt over 3 personen. Hierbij is de som
15:3 een belangrijk aspect, de leerlingen zullen dus goed de tafels moeten beheersen.
Modellen bij breuken
Het cirkelmodel
Dit model maakt goed zichtbaar dat een breuk een deel van een geheel kan zijn, de cirkel is namelijk
het geheel. Vanuit het vergelijken van delen kunnen gelijkwaardige breuken worden bepaald. Het is
wel erg belangrijk dat de breuken bij het cirkelmodel relatef eenvoudig zijn. Zo zou je met het
cirkelmodel kunnen aantonen dat 2/4 en 3/6 eigenlijk ook ½ is. Zo kun je breuken gaan vergelijken op
grootte door een vraag als: ‘aan welke tafel krijg je meer: aan een tafel met 4 pannenkoeken door 5
kinderen of een tafel met 5 pannenkoeken door 6 kinderen?’ Hierbij zouden er pannenkoeken mee
genomen kunnen worden, zodat het zichtbaar is voor alle leerlingen. Echter is het cirkelmodel niet
het beste model om zelf te tekenen, aangezien de delen nooit gelijk verdeeld zullen zijn en moet het
beperkt worden tot de eenvoudigere breuken.
Het rechthoekmodel of plakmodel
Dit model representeert zowel de verschijningsvorm deel van een geheel als deel van een
hoeveelheid. Ook in dit model kan er gebruik gemaakt worden van eerlijke verdeelsituates. Het gaat
dan om zaken die zowel als een geheel te zien zijn als makkelijk in stukjes verdeeld kunnen worden,
zoals plakken chocolade of stukken cake. Een reep chocolade kan dan ook makkelijker verdeeld
worden in 12 stukken dan een cirkel, waardoor het rechthoekmodel vaak een betere opte is bij
moeilijkere breuken. Dit model kunnen de leerlingen zelf ook tekenen, ook zou het model kunnen
worden uitgebreid wat dan weer niet mogelijk is bij het cirkelmodel.
Dergelijke opgaven met het plakmodel bereiden voor op optellen en afrekken met breuken. De
stukjes of blokjes hebben daarbij een rol als bemiddelende grootheid. Het aantal van de
bemiddelende grootheid, de stukjes, levert de noemer van de gelijknamige breuk op (zie p. 117).
Strook en stok
Ook dit model kan weer worden gebruikt om een deel van een geheel te visualiseren. Met de strook
zijn kinderen handelend bezig, ze vouwen namelijk de strook in vieren of in meerdere delen.
