Samenvatting Verhoudingen, procenten, breuken
en kommagetallen
Hoofdstuk 1
Absoluut en relatief
Er bestaan zowel absolute als relatieve gegevens. Absolute getallen zijn gegevens die naar
daadwerkelijke hoeveelheden van iets wijzen, zoals 50 studenten, 28 jaar of 20 worpen.
Relatieve gegevens zijn getallen die verhoudingsmatig iets aanduiden en dus niet helemaal volledig
zijn. Bijvoorbeeld: 1 op de 5 mensen zijn homo of 100%. Het daadwerkelijk aantal homo’s in
Nederland ken je dan nog niet en zegt dus niet zo veel en 100% zegt niets als je geen verdere context
hebt.
Het kunnen zien of iets een absoluut of relatief gegeven is, is van groot belang. Als je dit niet hebt,
kun je getallen of gegevens in stukken tekst verkeerd interpreteren of niet begrijpen.
Absolute en relatieve gegevens kun je van elkaar scheiden en in
beeld brengen door:
gebruik te maken van een strookmodel. Het model laat zien
hoe je de relatieve gegevens met de absolute kunt
vergelijken.
getallen benoemd te noteren: 50 keer raak of 25 euro.
Overeenkomsten en verschillen
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen zijn alle vier domeinen.
Overeenkomsten
Elk domein kent relatieve aspecten;
Kommagetallen zijn eigenlijk de decimale notatie van
breuken ( ¼ = 0.25)
Zowel breuken als procenten geven een verhouding
aan;
Een breuk geeft een deel van een geheel aan;
Een procent geeft een deel van de 100 aan;
Breuken en kommagetallen zijn allebei ‘gebroken
getallen’.
o Je noteert ze alleen verschillend.
Breuken en kommagetallen kunnen allebei als
meetgetallen weergeven.
1.2 Onderlinge relaties
Op de basisschool dienen leerlingen inzicht te krijgen in de verschillen tussen en verschijningsvormen
van de vier domeinen. Dit kan door zoveel mogelijk te visualiseren en de omgeving erbij te
betrekken, zoals krantenartikelen. Het is namelijk belangrijk dat leerlingen leren dat de getallen geen
‘feitjes’ zijn, maar onderlinge relaties hebben. Leerlingen denken al snel dat bijvoorbeeld de breuk
1/5 = 0.5. Dit klopt natuurlijk niet en kun je duidelijk maken door hen te laten rekenen met geld. Ook
kun je laten rekenen met ondermaten: 1 decimeter is 10 cm en 0.1 meter.
,Van breuk naar kommagetal
Voorbeeld: Schrijf de breuk 1/7 als kommagetal.
Hoeveel zevens gaan er in 1? 0, rest 1
In 10? 1, rest 3
In 30? 4, rest 2
In 20? 2, rest 6
In 60? 8, rest 4
In 40? 5, rest 5
In 50? 7, rest 1
Schrijf de getallen aan elkaar: 0,142857
Deze breuk noem je ook wel een repeterende breuk. Repeterende breuken hebben altijd een
zogezegd repetendum. Dit is het getal achter de komma wat zich telkens herhaald ( 142857).
van kommagetal naar breuk
Voorbeeld: schrijf 3,152 als breuk.
3 + 1/10 + 50/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3152/1000 = 394/125
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel absoluut als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je met een stip
aangeven op de getallenlijn. Dit is bijvoorbeeld 1 zak voer of 10 appels (1/1 of 10/1). Een breuk als
operator is een breuk waar je iets mee moet doen om tot een getal te komen. De breuk is dan dus
een relatief gegeven. Hier is bijvoorbeeld sprake van als je ¾ deel van 1 zak voer van 10 kg uit moet
rekenen. De waarde van deze breuk (3/4) is dus afhankelijk van hoeveel kilogram voer er in de zak
zit. 10 kg is hier het absolute gegeven.
Bij procenten werkt dit anders. Procenten zijn altijd relatief en dus altijd een operator. Wat de
waarde van bijv. 10% is, hangt af waar je die 10% van uitrekent: 10 euro of 300 euro?
20% is daarom niet altijd hetzelfde als 20/100 en dus 1/5. Breuken kunnen absoluut zijn en daar
moet je mee uit kijken.
Begrippen:
o Operator
o Absoluut gegeven – procenten en breuken zijn ALTIJD relatief
o Relatief gegeven
,Weetjes
Allerlei feitjes moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Declaratieve
kennis is kennis die je in één keer paraat hebt, zoals weten dat ½ hetzelfde is als 5/10 of 50/100.
Feitjes worden uiteindelijk in de bovenbouw op formeel niveau uitgevoerd. Daarvoor gebeurd dit
nog model- of zelfs materiaal ondersteunend. Modellen die ondersteunen zijn cirkeldiagrammen of
het strookmodel.
Een andere vorm van het oefenen van feitjes is productief oefenen, waarbij leerlingen zelf
oefenopgaven moeten verzinnen. Ze denken na over de leerinhoud én oefenen deze tegelijkertijd.
, H2: Verhoudingen
Van jongs af aan kom je al in aanraking met verhoudingen. Papa eet bijvoorbeeld meer aardappels,
omdat hij veel groter is. Of kunnen zien aan de grootte van de schoenen van wie de schoenen zijn.
Ook volwassenen hebben continu te maken met verhoudingen, bijvoorbeeld wanneer er gasten
komen eten en je dus voor meer mensen koken moet. Of wanneer je in de supermarkt loopt en kijkt
welk product in verhouding (prijs/inhoud) het goedkoopst is.
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee dingen. Dit kunnen getallen of
meetkundige beschrijvingen zijn.
Een evenredig verband houdt in dat als je het ene getal groter of kleiner maakt, het andere getal ook
zoveel keer groter of kleiner wordt.
Wanneer je bijvoorbeeld in een supermarkt kijkt naar welk product in verhouding het goedkoopst is,
kijk je dus niet naar de absolute prijs, maar naar de prijs per bepaald eenheid ( 70 cent per 100
gram).
Wanneer je naar iets in verhouding kijkt, neemt iets in rato toe of af. Verhoudingen gaan vaak over
grootheden, zoals gewicht, lengte of prijs. Ook kunnen ze over samengestelde grootheden gaan,
zoals snelheid of dichtheid.
Werken met schaal
Een veelvoorkomende verhouding is werken op schaal. Bij de schaalnotatie noteer je beide maten in
dezelfde maateenheid (zoals cm of m).
Gestandaardiseerd of niet?
Een verhouding kan ook aangeduid worden als breuk of percentage en hoeft dus niet altijd
genoteerd te worden als 1:34.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal baseert zich op 100%. Bij niet
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 2 op de 7 of 1 op de 30.
Omdat je bij percentages weet dat je met 100 te maken hebt, zijn
gestandaardiseerde verhoudingen dus makkelijker.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om
de aandacht te trekken. Dit zie je veel in kunst of reclames.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen Figuur 1- Wanverhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen zijn verhoudingen die je uitdrukt met getallen.
Bijvoorbeeld: 1 op de 6 Nederlanders zijn te dik.
Kwalitatieve verhoudingen druk je niet uit met getallen, maar in woorden. Bijvoorbeeld: De
schoenendoos is in verhouding met de schoen zelf te groot. Een kwantitatieve verhouding is vaak een
meetkundig begrip en meetkundige verhoudingen zijn áltijd kwantitatief.
Weet je nog? Meten is getalsmatig, meetkunde niet. En: kwantificeren = is getal toekennen aan
begrip.
