Samenvatting: Rekenen met
hele getallen op de basisschool
Tentamen Rekenen hele getalen 1.3
Hoofdstuk 1: Hoofdrekenen in groep 5-8
1.1 Een practicum als start: Hoofdrekenen
Je kunt op de volgende manieren rekenen:
Door gebruik te maken van getalkennis en weetjes, zoals die zijn opgeslagen in je hoofd.
Door gebruik te maken van getalkennis en weetjes, gecombineerd met een basiskennis van
rekenregels.
Door gebruikt te maken van hulpmiddelen, zoals het gebruiken van een rekenmachine.
1.2 Wat is hoofdrekenen?
Hoofdrekenen is handig en flexibel rekenen op basis van bekende getalrelaties en
rekeneigenschappen.
1.2.1 Hoofdrekenen: uit het hoofd en met het hoofd
Bij hoofdrekenen wordt niet alleen uit het hoofd gerekend, maar ook het rekenen met het hoofd, het
handig rekenen, hoort tot het hoofdrekenen. Kinderen leren bij hoofdrekenen om naar getallen te
kijken en daarna te beslissen hoe ze eenvoudig de opgave kunnen uitrekenen.
Een verhaal bij een opgave kan sturing geven aan de wijze waarop de oplossing tot stand komt.
Aanvankelijk maken de kinderen kennis met verschillende manieren van oplossen, doordat we
verhalen oftewel contexten gebruiken die een bepaalde werkwijze ondersteunen.
Hoofdrekenen is geen individuele activiteit; het met elkaar bespreken van manieren van oplossen
draagt ertoe bij dat kinderen kennismaken met en steeds vaardiger worden in het gebruik van
diverse manieren van oplossen. Dit betekent dat kinderen gestimuleerd worden om flexibel te
werken bij het uitreken van een opgave.
Bij het hoofdrekenen mogen kinderen gebruik maken van pen en papier. Het is niet de bedoeling dat
alle berekeningen worden opgeschreven, het gaat slechts om het noteren van enkele belangrijke
tussenantwoorden. Op deze manier houden kinderen het overzicht.
1.2.2 Kenmerken van een goede hoofdrekenaar
Om te kunnen hoofdrekenen is het van belang om de basisvaardigheden zoals optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen en delen goed te beheersen, zodat je deze vlot kunt gebruiken. Je moet kennis
over rekenfeiten kunnen inzetten.
Naast kennis en vaardigheden speelt ook het hebben van een goed gevoel over hoofdrekenen een
rol. Een goed gevoel maakt hoofdrekenen tot een uitdaging en een aangename wijze van rekenen.
Om kinderen hierin te begeleiden kan een leerkracht voorafgaand aan een hoofdrekenles de
kinderen eerst in een mondelinge gezamenlijke lesactiviteit laten oefenen met de basisvaardigheden.
De leerkracht geeft de kinderen de ruimte om op een eigen wijze tot een oplossing te komen en
zorgt voor veiligheid.
1.2.3 De kenmerken in de praktijk
In de methoden voor de basisschool komen rekenopgaven voor waarbij de leerlingen gevraagd wordt
om een kritische houding te ontwikkelen ten aanzien van hoofdrekenen in relatie tot cijfermatig
1
,rekenen en ten aanzien van het gebruik van een rekenmachine. De keuze van het hoofdrekenen is
afhankelijk van de mogelijkheden die je ziet en de getalkennis die je hebt.
1.2.4 De zin en de plaats van het hoofdrekenen
We besteden veel onderwijstijd aan hoofdrekenen, het rekenen met verschillende aanpakken en het
gebruik van een lege getallenlijn. Nadat er een stevige basis is gelegd met het hoofdrekenen, komt
het cijferen aan bod. Het hoofdrekenen heeft het rekenen tot en met 20 en 100 als
basis. In groep 3 leren kinderen betekenis te geven aan de getallen. Vanaf groep 4
komt de brede oriëntatie op het getallen gebeid tot 100 aan de orde.
Naast het hoofdrekenen komt het kolomsgewijze rekenen als voorloper van het
cijferen en schattend rekenen aan de orde. Bij kolomsgewijs rekenen worden
getallen gesplitst en wordt er gewerkt van groot naar klein. Er wordt rijgend met
getallen gerekend van rechts naar links.
Cijferen is een receptmatige aanpak van het werken met cijfers in
plaats van met getallen. Het voordeel van cijferend rekenen is
dat je sommen met grote getallen precies kunt uitrekenen.
Kinderen moeten cijferend leren vermenigvuldigen voor het
vervolg van hun rekenproces. Het is belangrijk dat de leerlingen
kunnen schatten wat het antwoord wordt.
Hoofdrekenen vraagt om getalinzicht, flexibel rekenen met getallen, schattend rekenen en
problemen kunnen oplossen. Bij hoofdrekenen gaat het niet om een bepaalde aanpak, zoals bij
cijferen. Bij hoofdrekenen weten kinderen wat ze doen, ze handelen zelfbewust op basis van inzicht
in getallen.
1.3 De drie vormen van hoofdrekenen
Er bestaan meerdere oplossingsstrategieën voor het oplossen van een opgave. Er zijn verschillende
manieren om een opgave op te lossen. Globaal gezien gebruiken we voor het hoofdrekenen vormen:
1. Rijgend hoofdrekenen
2. Splitsend hoofdrekenen
3. Gevarieerd hoofdrekenen
Bij de rijgend hoofdrekenen wordt vaak gewerkt met een getallenlijn. Kenmerkend voor de
rijgaanpak is dat het eerste getal van de opgave als geheel opgevat wordt en dat het tweede getal in
gedeeltes wordt toegevoegd of er afgehaald wordt.
17 + 25 wordt dus uitgerekend door 25 als uitgangspunt te nemen en dan 17 ‘er in delen bij te
rijgen’
Bij het splitsend hoofdrekenen worden de getallen van de opgave opgesplitst op grond van de
decimale-positionele structuur. De getallen worden uit elkaar gehaald en in gedeeltes bij elkaar
gevoegd of van elkaar afgehaald.
17 + 25 wordt dus uitgerekend door de getallen op te splitsen in tientallen en eenheden. Dus
10 + 20 (=30) en 7 + 5 (=12). Vervolgens worden deze getallen bij elkaar opgeteld.
Het gevarieerd hoofdrekenen wordt ook wel de varia-aanpak genoemd. De varia-aanpak is een
combinatie van het splitsend- en het rijgend hoofdrekenen. Er wordt gebruik gemaakt van allerlei
handige getalrelaties en rekeneigenschappen die passen bij de betreffende opgave.
2
,1.3.1 Volgorde van aanbieding van de drie grondvormen van
hoofdrekenen bij het optellen en aftrekken
De drie grondvormen die verwerven zijn met verschillende niveaus van denken en handelen komen
in het rekenonderwijs tijdens het leerproces in volgorde aan bod.
Er wordt begonnen met een brede verkenning van getallen. De kinderen maken eerst kennis met een
kralenketting met honderd kralen. Door de structuur van de kralenketting kunnen ze vlot de plaats
van de getallen op de kralenketting bepalen. Zodra de kralenketting voldoende verkend is, kunnen de
kinderen de overstap maken op een lege getallenlijn. Eerst staan er nog tientallen op de getallenlijn,
om de kinderen te helpen om getallen op de getallenlijn te plaatsen. In een later stadium bepalen de
kinderen zelf welke getallen ze op de getallenlijn plaatsen. In aansluiting hierop wordt de rijgstrategie
verkend.
RIJGAANPAK
Vanuit het positioneren van getallen op de getallenlijn stappen we over
naar het maken van optel- en aftrekopgaven aan de hand van de
rijgaanpak. Het sterke punt van de rijgaanpak is dat deze goed aansluit bij
het tellend rekenen en bij het ‘bewegen op de getallenlijn’. Bij bewegen
op de getallenlijn doen kinderen kennis op over het handig springen naar
getallen en over de opbouw van getallen. Het rijgen is overzichtelijk
doordat het eerste getal als geheel wordt opgevat en het tweede getal
daar in delen aan wordt toegevoegd of van wordt afgetrokken.
Bij het werken op de getallenlijn gaat het om het aanrijgen of afhalen van de tweede hoeveelheid. De
eerste hoeveelheid blijft heel en in deelhandelingen wordt het tweede getal eraan toegevoegd of in
delen ervan afgehaald. De getallenlijn is een denkmodel dat de rijgaanpak ondersteunt en steun
geeft aan de mentale handeling. Door de kinderen na verloop van tijd de sprongen mentaal te maken
wordt de getallenlijn een denkmodel.
Er kan ook een overstap worden gemaakt door de rekenstappen niet meer op de getallenlijn te
noteren, maar in rekentaal te noteren. Op deze manier worden de kinderen zich bewust dat ze niet
de hele bewerking hoeven op te schrijven, maar ook alleen de tussentijdse denkstappen kunnen
noteren.
SPLITSAANPAK
Op het moment dat de kinderen vertrouwd zijn geworden met
de rijgaanpak op de (mentale) getallenlijn en het begrip van
getallen is ontstaan, wordt de splitsaanpak aangeboden.
Sommige kinderen hebben deze aanpak al eerder ontdekt.
Vooral bij het optellen maken kinderen spontaan gebruik van
het splitsen. Beide getallen worden gesplitst in tientallen en eenheden en samengevoegd. Tot slot
worden de tientallen en eenheden weer bij elkaar opgeteld om tot een antwoord te komen.
Door de complexiteit van de verschillende handelingen is de splitsaanpak lastiger dan de rijgaanpak.
Het kunnen toepassen van de splitsaanpak vraagt van de kinderen inzicht in de decimale structuur
van de getallen, maar ook in de soort bewerking (optellen/aftrekken). Vooral bij het aftrekken met de
splitsaanpak ontstaan problemen door eventuele tekorten die ontstaan.
VARIA-AANPAK
Zodra de kinderen voldoende vertrouwd zijn met de splitsaanpak, vindt een verdere uitbreiding naar
de varia-aanpak plaats. De varia-aanpak is voor sommige kinderen vaak moeilijke te doorgronden.
3
, Voor de ene opgave kan een hele andere aanpak nodig zijn dan voor de andere. Bij elke opgave
wordt op basis van de getallen en de bewerking een keuze gemaakt voor een bepaalde aanpak. De
varia-aanpakken die kunnen worden gebruikt zijn:
Compenseren
Bij compenseren ga je de getallen van de som veranderen tot mooie ronden getallen
waarmee je gemakkelijk kunt rekenen. Bij het antwoord wordt het verschil erbij of eraf
gehaald.
75 – 48 =
75 – 50 = (bij het antwoord tel ik nog twee op, want ik heb er nu twee teveel van
afgehaald.)
Het compenseren kan goed worden toegepast in een opgave met een geldcontext waarbij
met wisselgeld gewerkt wordt.
Transformeren
Bij transformeren vorm je de som om in een gemakkelijkere som, waarbij de uitkomst
hetzelfde blijft. Het verschil tussen de twee getallen moeten hetzelfde blijven.
68 – 29 = evenveel als 69 – 30
Het kind moet kunnen doorzien dat het verschil bij een aftrekking gelijk blijft als je bij beide
getallen hetzelfde optelt.
98 + 63 = evenveel als 100 + 61
Het kind moet kunnen doorzien dat het resultaat van de optelling gelijk blijft, als je bij het
ene getal één toevoegt en bij het andere getal één afhaalt.
Aanvullend optellen (bij aftrekken)
Bij aanvullen maak je van de aftreksom een optelsom. Sommige kinderen vinden te fijner,
omdat ze een voorkeur hebben voor optellen boven aftrekken.
62 – 59 =
(hoeveel moet ik er nog bij doen om op 62 te komen?)
Inverse relatie
Bij de inverse relatie wordt gekeken naar het verschil tussen de getallen. De bewerking
bereikt het omgekeerde.
91 – 88
91 – 88 = 3, want 81 + 3 = 91
Het is belangrijk dat kinderen eerst de rijgstrategie onder de knie krijgen, voordat er aandacht wordt
besteed aan de splitsstrategie. Wanneer de kinderen grip hebben op de splitsstrategie, dan kan er
gewerkt worden met de varia-aanpak. Gebeurt dit niet in voldoende mate in deze volgorde, dan
raken zwakkere leerlingen het spoort bijster en gaan ze de verschillende soorten aanpakken door
elkaar halen.
Eind groep 5 kunnen de leerlingen alle optellingen en aftrekking tot 100 vlot en met inzicht uit het
hoofd uitrekenen. Ze maken daarbij nog wel korte notaties. Vanaf groep 5 leren leerlingen
optellingen en aftrekkingen tot 1000 rijgend op te lossen. Vanaf groep 6 kunnen leerlingen
optellingen en aftrekkingen tot 100 geheel uit het hoofd uitrekenen. Ook kunnen leerlingen uit groep
6 optellingen en aftrekkingen tot 1000 op te lossen met de rijg- , splits- en varia-aanpak. Ze maken
daarbij gebruik van kolomsgewijs rekenen of cijferend rekenen.
1.3.2 De drie grondvormen van hoofdrekenen bij het vermenigvuldigen
met grotere getallen
In groep 5 oriënteren de kinderen zich op handige aanpakken voor grote vermenigvuldigingen als 12
x 6 en 5 x 24. Op dit moment zijn de leerlingen gevorderd bij het optellen en aftrekken tot duizend,
4
