Samenvatting Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er
verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking brengen.
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de (sub)domeinen. Zo kun je bij
ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen decimale breuken en kunnen
breuken en procenten allebei een verhouding aangeven. Aan de andere kant kennen de domeinen
elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit. Bij de notatie van geldbedragen
gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken.
Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen.
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief
van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en
het nieuws niet goed begrijpen. Juist dit onderscheid is er lastig voor kinderen.
Het strookmodel maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt vergelijken:
door het totale aantal op 100% te stellen, dus de stroken even lang te maken. Om te voorkomen dat
kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het – vooral in het begin van het leerproces –
verstandig de getallen benoemd te noteren. Dit helpt om het onderscheid tussen absolute en
relatieve gegevens duidelijk te houden.
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze sub
domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook om de domeinen door elkaar heen te
gebruiken. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de
domeinen in de realiteit door elkaar voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis van
bewerkingen met
verhoudingen en breuken te doorzien. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties
beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren. Bovendien kun je zo gemakkelijk
optredende misvattingen voorkomen.
Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale getallen met
verschillende notatiewijzen. Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst
dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er vooral
verschillen: breuken komen bijvoorbeeld vaker voor als deel van een geheel en deel van een
hoeveelheid; kommagetallen bijna nooit.
Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen. Bij onvoldoende begrip halen
kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Om dit inzichtelijk te maken, kun je naast het
strookmodel, gebruikmaken van de verschijningsvorm meetgetal.
Een manier om inzichtelijk met een rekengetal om te gaan, is het gebruik van verschillende
ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren.
Repeterende breuk: een breuk die niet als een echte decimale breuk te schrijven is.
,Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een
getal, hoeveelheid of prijs.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator.
1 1
Voorbeeld: 20% is niet altijd , maar is wel altijd 20%.
5 5
Declaratieve kennis: parate feitenkennis. Deze weetjes moeten snel beschikbaar zijn, zodat
kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met
breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen.
Vaak hebben kleuters al begrip van ‘de helft’. Deze voorkennis omvat vaak al meer dan je zou
denken. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Allerlei
weetjes oefen je daarom in. Al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteunend.
Productief oefenen: een vorm van oefenen waarbij kinderen zelf opgaven (en weetjes)
produceren.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
In het dagelijks leven redeneren we veel verhoudingsgewijs, vaak onbewust. Een verhouding is een
recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige beschrijvingen.
Evenredig verband: als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal (of de
andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt.
Naar mate je in gewicht meer koopt, stijgt de prijs evenredig.
Naar rato: naar verhouding
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verhoudingen maken het mogelijk om zaken met elkaar te vergelijken. Veel voorkomende
verhoudingen zijn die van benzineverbruik, sterkte van de koffie, zoetheid van de ranja, recepten,
snelheid en de bevolkingsdichtheid.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Denk hierbij aan
km/u. Een andere veelvoorkomende verhouding is schaal. Een schaal geeft de verhouding aan tussen
de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan.
Bij een formele schaalnotatie als 1 : 10 noteren we beide getallen in dezelfde maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld. Bij niet-
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn. Deze zijn daardoor lastiger te
vergelijken dan procenten. Het uitdrukken van zaken in verhoudingen helpt om informatie letterlijk,
maar ook figuurlijk in verhouding te zien, oftewel op waarde te kunnen schatten.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken. Dit kom je bijvoorbeeld tegen in reclame, (politieke) cartoons en kunst.
Kwantitatieve verhoudingen: De verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen, zoals 1 op 3.
Kwalitatieve verhoudingen: Er komt geen getal aan te pas, ze worden uitgedrukt in woorden.
Voorbeeld: ‘Een kind is te lang voor zijn leeftijd.’
Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Andersom gaat het sowieso op: een
meetkundige verhouding is altijd kwalitatief.
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend.
, Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft. Voorbeeld: ‘1 op de 4
pabostudenten is een jongen’.
Externe verhouding: dit betreft twee verschillende grootheden. Voorbeeld: km/u of prijs per
gewicht.
Verhoudingsdeling: hierbij representeren deeltal en deler hetzelfde. Daarbij gaat het om de
(interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel. Denk aan: er
zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan je maken?
Verdelingsdeling: bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders.
Verhoudingsgewijs denken kan hier een rol spelen. Voorbeeld: 3 kinderen
verdelen 12 snoepjes, hoeveel snoepjes krijgt ieder kind?
Lineair verband: een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
Gaat die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de verticale en de
horizontale as), dan is het verband een evenredig verband ofwel een
verhouding.
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Dat levert gemakkelijk
misvattingen op.
Verhoudingsgewijs redeneren: alles evenveel keer vergroten.
Het woord ‘meer’ duidt op een additieve betekenis (3 meer, is dus x 4), terwijl het woord ‘keer’ in
een multiplicatieve context past. Andere niet-evenredige verbanden zijn bijvoorbeeld: exponentiële,
logaritmische, logistische of wortelfuncties.
Ten slotte zijn er nog verbanden die wel evenredig maar toch geen verhouding zijn: omgekeerd
evenredige verbanden. Denk aan snelheid en tijd. Hoe sneller je fietst, hoe minder tijd je nodig hebt
om op je bestemming te komen.
Break-evenpoint: het punt wanneer je geen winst of verlies maakt,
Gulden snede: een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een
schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die bestaat. Een rechthoek
waarvan de korte en de lange zijde zich verhouden als de gulden snede, zou
de mooist denkbare rechthoek opleveren. Dit werd wel de ‘goddelijke
verhouding’ genoemd. Het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig
aantal decimalen en wordt aangeduid met ϕ (phi) .
Als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, komt er altijd hetzelfde getal uit. Dit
22
verhoudingsgetal is ongeveer , oftewel ongeveer 3.1415926 en wordt π (pi) genoemd. Net als φ
7
heeft π een oneindig aantal decimalen. Het zijn beide irrationale getallen: er is geen groepje
decimalen is dat zichzelf repeteert.
Rij van Fibonacci: een reeks van getallen, waarbij ieder opvolgend getal de som van de twee
voorgaande getallen is. Voorbeeld: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 etc.
Verhoudingen kunnen worden aangeduid met getallen en met woorden. Pas in de bovenbouw van
de basisschool wordt de formele notatie van verhoudingen geïntroduceerd, waarbij er bewust
aandacht wordt besteed dat het deelteken (:) er voor kinderen nu een betekenis bij krijgt.
